সৃজনশীলঃ ‘ϕ একটি ক্লেলার…’ ২০২৫ – ভেক্টর, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

দুটি ভেক্টরের মান শূন্য না হলে তারা যদি পরস্পর সমান ও বিপরীতমুখী হয়ে ক্রিয়া করে তবে তাদের লব্ধি শূন্য হতে পারে।

ধরি, দুটি বল, $P=Q$
মধ্যবর্তী কোণ, $\theta ={180}^{\circ }$
এখন, লব্ধি, $R=\sqrt{P^2+P^2+2.P.P\cos {180}^{\circ }}=\sqrt{2P^2-2P^2}=0$
অর্থাৎ, দুটি ভেক্টরের কোনোটির মান শূন্য না হলেও এদের শূন্য হতে পারে।

উদ্দীপক হতে, স্কেলার অপেক্ষক, $\varphi =3x{y}^{2}z+4x^{3}y-x^{2}y$
আমরা জানি, গ্রেডিয়েন্ট কোনো ক্ষেলার ক্ষেত্রকে ভেষ্টর ক্ষেত্রে রূপান্তরিত করে।

$\therefore \mathrm{grad}\varphi =\overrightarrow{\nabla }\varphi =(\hat{i}\frac{\partial }{\partial x}+\hat{j}\frac{\partial }{\partial y}+\hat{k}\frac{\partial }{\partial z})(3x{y}^{2}z+4x^{3}y-x^{2}y)$
$=\hat{i}(3y^{2}z+12x^{2}y-2xy)+\hat{j}(6xyz+4x^3-x^2)+\hat{k}(3x{y}^2+0-0)$
$=(3y^{2}z+12x^{2}y-2xy)\hat{i}+(6xyz+4x^3-x^2)\hat{j}+3x{y}^{2}k$

অতএব উদ্দীপকের স্কেলার ক্ষেত্রের ভেক্টর ক্ষেত্রটি $(3y^{2}z+12x^{2}y-2xy)i$

$+(6xyz+4x^3-x^2)\hat{j}+3x{y}^2\hat{k}$

উদ্দীপক হতে, ভেক্টর ক্ষেত্রটি, $\overrightarrow{A}=x^{3}yz\hat{i}+2x{y}^2\hat{j}+x^{2}yz\hat{k}$

এখন $\mathrm{Curl}\overrightarrow{A}=\overrightarrow{\nabla }\times \overrightarrow{A}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ x^{3}yz& 2x{y}^2& x^{2}yz\end{array}\right|$

$=\hat{i}(x^{2}z-0)-j(2xyz-x^{3}y)+k(2y^2-x^{3}z)$
$=x^{2}zi-(2xyz-x^{3}y)\hat{j}+(2y^2-x^{3}z)\hat{k}$

এখন, $\mathrm{Div}\left(\mathrm{Curl}\overrightarrow{A}\right)=\overrightarrow{\nabla }\cdot \mathrm{Curl}\overrightarrow{A}$

$=(\hat{i}\frac{\partial }{\partial x}+\hat{j}\frac{\partial }{\partial y}+\hat{k}\frac{\partial }{\partial z})\cdot \{x^2\hat{z}-(xyz-x^{3}y)\hat{j}+(2y^2-x^{3}z)\hat{k}\}$
$=2xz-2xz+x^3+0-x^3=0$
আবার, $\overrightarrow{A}=\overrightarrow{\nabla }\cdot \overrightarrow{A}$
$=(\hat{i}\frac{\partial }{\partial x}+\hat{j}\frac{\partial }{\partial y}+\hat{k}\frac{\partial }{\partial z})\cdot (x^{3}yz\hat{i}+2x{y}^2\hat{j}+x^{2}yz\hat{k})$
$=3x^{2}yz+4xy+x^{2}y$

যেহেতু, ডাইভারজেন্স স্কেলার রাশি তাই এর কার্ল নির্ণয় করা সম্ভব নয়। অতএব, উদ্দীপকের ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্লের ডাইভারজেন্স ও ডাইভারজেন্সের কার্ল তুলনা করা সম্ভব নয়।