সৃজনশীলঃ ‘একটি কণা সরল…’ আইডিয়াল স্কুল অ্যান্ড কলেজ ২০২৫ – পর্যাবৃত্ত গতি, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

আমরা জানি, মুক্তিবেগ, $v_e=\sqrt{\frac{2\mathrm{GM}}{R}}$

যদি ভর অপরিবর্তিত থাকে তবে, $v_e\propto \frac{1}{\sqrt{R}}$। অর্থাৎ, ভর অপরিবর্তিত থাকলে কোনো গ্রহের মুক্তিবেগ এর ব্যাসার্ধের বর্গমূলের ব্যস্তানুপাতিক। সুতরাং, ভর অপরিবর্তিত রেখে কোনো গ্রহ সম্প্রসারিত তথা ব্যাসার্ধ বৃদ্ধি পেলে এর মুক্তিবেগ হ্রাস পাবে।

দেওয়া আছে,

সরণ, $x_1=2\mathrm{cm}$ হলে বেগ, $v_1=4\mathrm{cm}{s}^{-1}=0.04m{s}^{-1}$.

সরণ, $x_2=3\mathrm{cm}$ হলে বেগ, $v_2=3\mathrm{cm}{s}^{-1}=0.03m{s}^{-1}$

আমরা জানি, $v=A\sqrt{{\omega }^2-x^2}$

১ম ক্ষেত্রে, $v_1=A\sqrt{{\omega }^2-x_1{}^2}$

বা, $0.04=A\sqrt{{\omega }^2-(0.02{)}^2}$.......(1)

২য় ক্ষেত্রে, $v_2=A\sqrt{{\omega }^2-x_2{}^2}$

বা, $0.03=A\sqrt{{\omega }^2-(0.03{)}^2}$.........(2)

(1) ÷ (2) করে,

$\frac{0.04}{0.03}=\frac{A\sqrt{{\omega }^2-(0.02{)}^2}}{A\sqrt{{\omega }^2-(0.03{)}^2}}$

বা, $\frac{4}{3}=\frac{\sqrt{{\omega }^2-(0.02{)}^2}}{\sqrt{{\omega }^2-(0.03{)}^2}}$

বা, $\frac{16}{9}=\frac{{\omega }^2-4\times {10}^{-4}}{{\omega }^2-9\times {10}^{-4}}$

বা, $16{\omega }^2-0.0144=9{\omega }^2-3.6\times {10}^{-3}$

বा, $7{\omega }^2=0.0108$
বा, $\omega =0.0393$
বा, $\frac{2\pi }{T}=0.0393$
বा, $T=160\sec$

∴ সরল দোলনগতিতে দোলনরত কণাটির পর্যায়কাল 160 sec.

উদ্দীপক হতে, পাহাড়ের চূড়ায় 3 ঘণ্টায় 10 sec সময় পার্থক্য দেয় তথা হারায়। অর্থাৎ, n = 10।

$\therefore \frac{T^{\prime }}{T}=\frac{3\times 3600}{3\times 3600-10}=1.0009268$

পাহাড়ের উচ্চতায় অভিকর্ষজ ত্বরণ $g^{\prime }$ হলে, $\frac{g}{g^{\prime }}=\frac{T^{\prime }}{T}=1.0009268$

আবার, পাহাড়ের চূড়ায় দোলনকাল অপরিবর্তিত থাকল্ল,

$\frac{L}{g}=\frac{L^{\prime }}{g^{\prime }}$

বা, $L^{\prime }=\frac{g^{\prime }}{g}\times L$

$=\frac{1}{1.0009268}\times L$

$=0.9990741L$

$\therefore$ দৈর্ঘ্য হ্রাস, $\Delta L=L-L^{\prime }$

$=L-0.9990741L$

এর$=9.259\times {10}^{-4}L=L\text{ এর }0.09259\%$

অতএব, উদ্দীপকে উল্লেখিত পাহাড়ের চূড়ায় সেকেন্ড দোলক হিসেবে কাজ করতে হলে কার্যকরী দৈর্ঘ্য 0.09259% হ্রাস করতে হবে।