সৃজনশীলঃ ‘একটি কনিকের উপকেন্দ্র…’ রাজশাহী ক্যাডেট কলেজ ২০২৬ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

এখানে, উপকেন্দ্র $S(1,-1)$ এবং নিয়ামক রেখা $x-y+2=0$

ধরি, পরাবৃত্তটির উপর যেকোনো বিন্দু $P(x,y)$

পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে, SP=PM

বা, $\sqrt{(x-1{)}^2+(y+1{)}^2}=\left|\frac{x-y+2}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}\right|$

বা, $(x-1{)}^2+(y+1{)}^2=\frac{(x-y+2{)}^2}{2}$ [বর্গ করে]

বা, $2(x-1{)}^2+2(y+1{)}^2=(x-y+2{)}^2$

বা, $2(x^2-2x+1)+2(y^2+2y+1)=x^2+y^2+4-2xy-4y+4x$

বা, $2x^2-4x+2+2y^2+4y+2-x^2-y^2-4+2xy+4y-4x=0$

$\therefore x^2+y^2+2xy-8x+8y=0$

নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ, $x^2+y^2+2xy-8x+8y=0$.

এখানে, উপকেন্দ্র S(1,-1) এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ $x-y+2=0$ ....... (1)

এবং উৎকেন্দ্রিকতা, $e=\frac{1}{\sqrt{3}}<1$

ধরি, উপবৃত্তের উপর যেকোনো বিন্দু $P(x,y)$

উপবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে, SP=e.PM

বা, $\sqrt{(x-1{)}^2+(y+1{)}^2}=\frac{1}{\sqrt{3}}\left|\frac{x-y+2}{\sqrt{1^2+(1{)}^2}}\right|$

বা, $(x-1{)}^2+(y+1{)}^2=\frac{1}{3}\times \frac{(x-y+2)}{2}$ [বর্গ করে]

বা, $(x^2-2x+1)+(y^2+2y+1)=\frac{(x-y+2{)}^2}{6}$

বা, $6x^2-12x+6+6y^2+12y+6=x^2+y^2+4-2xy-4y+6x$

বা, $6x^2-12x+6+6y^2+12y+6-x^2-y^2-4+2xy+4y-4x=0$

$\therefore 5x^2+5y^2+2xy-16x+16y+8=0$ ......... (2)

ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

(1) নং সরলরেখার সমান্তরাল এবং $(1,-1)$ বিন্দুগামী সমান্তরাল রেখার সমীকরণ, $x-y+k=0$ ......... (3)

(3) নং রেখাটি $(1,-1)$ বিন্দুগামী, $1+1+k=0\Rightarrow k=-2$

$\therefore y=(x-2)$ ......... (4)

(4) নং এ $y$ এর মান (2) নং এ বসিয়ে পাই,

$5x^2+5(x-2{)}^2+2x(x-2)-16x+16(x-2)+8=0$

বা, $5x^2+5(x^2-4x+4)+2x^2-4x-16x+16x-32+8=0$

বা, $5x^2+5x^2-20x+20+2x^2-4x-16x+16x-32+8=0$

বা, $12x^2-24x-4=0$

$\therefore x=\frac{3+2\sqrt{3}}{3},\frac{3-2\sqrt{3}}{3}$ যখন, $x=\frac{3+2\sqrt{3}}{3},y=\frac{-3+2\sqrt{3}}{3}$

এবং $x=\frac{3-2\sqrt{3}}{3},y=-\frac{3+2\sqrt{3}}{3}$

∴ উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য

$=\sqrt{{(\frac{3+2\sqrt{3}}{3}-\frac{3-2\sqrt{3}}{3})}^2+{(\frac{-3+2\sqrt{3}}{3}+\frac{3+2\sqrt{3}}{3})}^2}$

$=\sqrt{{\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)}^2+{\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)}^2}=\frac{4\sqrt{6}}{3}$

নির্ণেয় উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য $\frac{4\sqrt{6}}{3}$ একক।