সৃজনশীলঃ ‘একটি কৃত্রিম উপগ্রহ…’ আনন্দ মোহন কলেজ ২০২৬ – মহাকর্ষ ও অভিকর্ষ, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

আমরা জানি, মুক্তি বেগ, $v_e=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$ এখানে, M গ্রহের ভর ও R গ্রহের ব্যাসার্ধ। এখন ভর স্থির রেখে গ্রহটিকে সম্প্রসারিত করা হলে গ্রহের ব্যাসার্ধ $R$ বৃদ্ধি পাবে। আবার এই ব্যাসার্ধের সাথে মুক্তিবেগের সম্পর্ক $(v_e\propto \frac{1}{\sqrt{R}})$ বগমূলের ব্যস্তানুপাতিক। অর্থাৎ স্থির ভরের কোনো গ্রহ সম্প্রসারিত হলে বা গ্রহের ব্যাসার্ধ বদ্ধি পেলে কোনো বস্তুর মুক্তিবেগের মান কমে যাবে।

আমরা জানি, পৃথিবীর মুক্তিবেগ, $v_e=11200m{s}^{-1}$

এখানে, কৃত্রিম উপগ্রহের বেগ, $v=\frac{v_e}{2}=\frac{11200}{2}=5600m{s}^{-1}$

মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, $G=6.673\times {10}^{-11}{\mathrm{Nm}}^2{\mathrm{kg}}^{-2}$

পৃথিবীর ভর, $M=.6\times {10}^{24}\mathrm{kg}$

পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, $R=6.4\times {10}^{6}m$

∴ কৃত্রিম উপগ্রহের উচ্চতা, $h=$ ? 

আমরা জানি, কৃত্রিম উপগ্রহের বেগ,

$v=\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$

বা, $v^2=\frac{GM}{R+h}$

বা, $R+h=\frac{\mathrm{GM}}{v^2}$

বা, $h=\frac{\mathrm{GM}}{v^2}-R=\frac{6.673\times {10}^{-11}\times 6\times {10}^{24}}{(5600{)}^2}-6.4\times {10}^6$

$\therefore h=6.367\times {10}^{6}m$

সুতরাং, ভূপৃষ্ঠ থেকে উপগ্রহটির উচ্চতা $6.367\times {10}^{6}m$

উপগ্রহটির h উচ্চতায় বিভবশক্তি, $W=\frac{\mathrm{GMmh}}{R(R+h)}$

আবার, হঠাৎ থামিয়ে দিলে যদি ভূপৃষ্ঠে v বেগে আঘাত করে তাহলে, গতিশক্তি,

$E_k=\frac{1}{2}m{v}^2$  

এখানে, $h=6.673\times {10}^{6}m$ [‘গ’ হতে]

মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, $G=6.673\times {10}^{-11}{\mathrm{Nm}}^2{\mathrm{kg}}^{-2}$

পৃথিবীর ভর, $M=6\times {10}^{24}\mathrm{kg}$

পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, $R=6.4\times {10}^{6}m$

এখন, $W=E_k$

বা, $\frac{\mathrm{GMMh}}{R(R+h)}=\frac{1}{2}{\mathrm{mv}}^2$

বা, $v^2=\frac{2GMh}{R(R+h)}$

বা, $v=\sqrt{\frac{2\mathrm{GMh}}{R(R+h)}}$

$=\sqrt{\frac{2\times 6.673\times {10}^{-11}\times 6\times {10}^{24}\times 6.367\times {10}^6}{6.4\times {10}^6(6.4\times {10}^6+6.367\times {10}^6)}}$
$=7899.22m{s}^{-1}$

সুতরাং, উপগ্রহটিকে হঠাৎ থামিয়ে দিলে সেটি $7899.22m{s}^{-1}$ বেগে পৃথিবীকে আঘাত করবে।