সৃজনশীলঃ ‘একটি কূপে একটি…’ রংপুর ক্যাডেট কলেজ ২০২৫ – স্থিতিবিদ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

ধরি, আদি অবস্থা পাথরটি পড়তে  $t_1$ সে. এবং শব্দ উঠতে  $t_2$ সে. সময় লাগে।

$\therefore t=t_1+t_2$$...........\left(1\right)$

পাথর পড়ার ক্ষেত্রে; $h=\frac{1}{2}g{t}_1{}^2$$...........\left(2\right)$
শব্দ উঠার ক্ষেত্রে; $h={\mathrm{vt}}_2$$...........\left(3\right)$
সমীকরণ $\left(2\right)$ ও $\left(3\right)$ হতে পাই,  

$t_1=\sqrt{\frac{2h}{g}}$$...........\left(4\right)$

 $t_2=\frac{h}{v}$$...........\left(5\right)$ 

সমীকরণ $\left(1\right)$ এ $\left(4\right)$ ও $\left(5\right)$ এর মান বসাই

$\therefore t=\sqrt{\frac{2h}{g}}+\frac{h}{v}$$...........\left(6\right)$ 

বা , $\sqrt{\frac{2h}{g}}=t-\frac{h}{v}$
বা, $\frac{2h}{g}=t^2-\frac{2th}{v}+\frac{h^2}{v^2}$
বা, $\frac{2h}{g}=\frac{t^2{v}^2-2h{t}^2+h^2}{v^2}$
বা, $2h{v}^2=g{t}^2{v}^2-2ghtv+h^{2}g$

$\therefore 2h{v}^2={\mathrm{gt}}^2{v}^2-2\mathrm{hgtv}+h^{2}g$ (প্রমাণিত)

'খ' নং হতে প্রাপ্ত, $t=\sqrt{\frac{2h}{g}}+\frac{h}{v}$
বা, $t-\frac{h}{v}=\sqrt{\frac{2h}{g}}$
বা, ${(t-\frac{h}{v})}^2={\left(\sqrt{\frac{2h}{g}}\right)}^2$ [বর্গ করে].
বা, $t^2+\frac{h^2}{v^2}-\frac{2h}{v}t=\frac{2h}{g}$
বা, ${\mathrm{gt}}^2-\frac{{\mathrm{gh}}^2}{v^2}-\frac{2\mathrm{gh}}{v}t=2h$
বা, ${\mathrm{gt}}^2=2h+\frac{2\mathrm{ght}}{v}+\frac{{\mathrm{gh}}^2}{v^2}$.
বা, $g{t}^2=2h(1+\frac{gt}{v})+g\frac{h^2}{v^2}$.$...........\left(1\right)$
$\left(1\right)$ নং সমীকরণण্টিকে ${\mathrm{gt}}^2=2h(1+\frac{\mathrm{gt}}{v})$ তে রূপান্তর করার জন্য  $g\frac{h^2}{v^2}$ এরনগণ্য হতে হবে।
এখন, $g\cdot \frac{h^2}{v^2}$ এর মান নগণ্য হবে যদি  $v\gg h$ হয়। অর্থাৎ, নির্ণেয় শর্ত, v>>h.