সৃজনশীলঃ ‘একটি মহাজাগতিক বস্তুকে…’ আদমজী ক্যান্টনমেন্ট কলেজ ২০২৬ – মহাকর্ষ ও অভিকর্ষ, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

পৃথিবীকে $\rho$ ঘনত্বের সমসত্ত্ব গোলক ধরলে পৃথিবীর কেন্দ্র থেকে x দূরত্বে m ভরের বস্তুর ওপর প্রযুক্ত মহাকর্ষীয় বল,

 $F=\frac{4}{3}\pi G\rho m\times$ অর্থাৎ $F\propto \times [\because \frac{4}{3}\pi G\rho m=$ ধ্রুবক $]$ 

আবার এই বল সর্বদা কেন্দ্রমুখী। সুতরাং বস্তুর পৃথিবীর কেন্দ্রকে মধ্য অবস্থানে রেখে পৃথিবীর এক প্রান্ত থেকে অপর প্রান্ত পর্যন্ত সরল দোলগতিতে দুলতে থাকবে। 

ধরি, পৃথিবীর ভর, ব্যাসার্ধ ও পৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ যথাক্রমে $M_e$, $R_e$ ও $g_e$ এবং মহাজাগতিক বস্তুর ভর, ব্যাসার্ধ ও পৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ যথাক্রমে $M,R$ এবং g .
শর্তমতে, বস্তুটির মুক্তিবেগ, $v=\sqrt{2}{v}_e$
বা, $\sqrt{\frac{\mathrm{GM}}{R}}=\sqrt{2}\times \sqrt{\frac{{\mathrm{GM}}_e}{R_e}}$
বা, $\frac{M}{R}=\frac{2M_e}{R_e}$$.....\left(i\right)$

আবার, বস্তুটির ঘনত্ব, $\rho =\frac{1}{2}{\rho }_e$
বা, $\frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}=\frac{1}{2}\times \frac{M_e}{\frac{4}{3}\pi R_e^3}$ বা, $2\times \frac{M_e}{R_e}\times \frac{1}{R^2}=\frac{1}{2}\times \frac{M_e}{R_e^3}$
বা, $R=2R_e$
(i) নং হতে, $\frac{M}{2R_e}=\frac{2M_e}{R_e}$

$\therefore M=4M_e$

এখন, বস্তুটির পৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ,

$g=\frac{GM}{R^2}=\frac{G\times 4M_e}{{\left(2R_e\right)}^2}$

বা, $g=\frac{{\mathrm{GM}}_e}{R_e{}^2}=g_e=9.8m{s}^{-2}$
অতএব, মহাজাগতিক বস্তুর পৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ $9.8m{s}^2$.

‘গ’ হতে পাই, মহাজাগতিক বস্তুটির ভর, $M=4M_e$ মহাজাগতিক বস্তুটির ব্যাসার্ধ, R = $2R_e$
মহাজাগতিক বস্তুর পৃষ্ঠ হতে স্যাটেলাইটের উচ্চতা, $h=R_e$
মহাজাগতিক বস্তুর পৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ, g=9.8 m s2
পর্যায়কাল, $T=24h=86400s$
মনে করি, স্যাটেলাইটটি মহাজাগতিক বস্তুর পৃষ্ঠ হতে $r$ উচ্চতায় থাকলে এর পর্যায়কাল T হবে।

$\therefore T=2\pi \sqrt{\frac{(R+r{)}^3}{GM}}.$

বা, $\frac{(R+r{)}^3}{g{R}^2}=\frac{T^2}{4{\pi }^2}$ 

বা, $(R+r{)}^3=\frac{{\mathrm{gR}}^2{T}^2}{4{\pi }^2}$
বা, $R+r=\sqrt[3]{\frac{g\times {\left(2R_e\right)}^2{T}^2}{4{\pi }^2}}$
বা, $r=\sqrt[3]{\frac{9.8\times 4\times {(6.4\times {10}^6)}^2\times T^2}{4{\pi }^2}}-2R_e$
বা, $r=34389.73\times {86400}^{\frac{2}{3}}-2\times 6.4\times {10}^6=54.41\times {10}^{6}m$ সুতরাং, স্যাটেলাইটটিকে ভূ-স্থির স্যাটেলাইটের ন্যায় পরিণত করতে পৃষ্ঠ থেকে $54.41\times {10}^{6}m$ উচ্চতায় স্থাপন করতে হবে।