সৃজনশীলঃ ‘একটি অবস্থান ভেক্টর…’ ২০২৫ – ভেক্টর, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

ডাইভারজেন্সের তাৎপর্য হলো-

i. ডাইভারজেন্স দ্বারা একক আয়তনে এই দিক রাশির মোট কতটুকু ফ্লাক্স কোন বিন্দু অভিমুখী বা অপসারিত হচ্ছে তা  প্রকাশ করে। $\overrightarrow{\nabla }\cdot \overrightarrow{V}$ বা $\mathrm{div}\overrightarrow{V}$  দ্বারা একক সময়ে কোনো তরল পদার্থের ঘনত্বের পরিবর্তনের হার বুঝায়।

ii. মান ধনাত্মক হলে, তরল পদার্থের আয়তন বৃদ্ধি পায়; ঘনত্বের পরিবর্তনের হার বুঝায়। যেখানে $\overrightarrow{V}$ দ্বারা একক ক্ষেত্রফলের মধ্য দিয়ে প্রতি সেকেন্ডে তরল পদার্থের ভর প্রবাহের হার নির্দিষ্ট হয়।

iii. মান ঋণাত্মক হলে আয়তনের সংকোচন ঘটে, ঘনত্ব বৃদ্ধি পায়।

এখানে $\overrightarrow{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}$

$\therefore r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

$\therefore \frac{1}{r}=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}={(x^2+y^2+z^2)}^{-\frac{1}{2}}$

এখন ,$\overrightarrow{\nabla }\left(\frac{1}{r}\right)=\frac{\partial }{\partial x}\hat{i}\left(\frac{1}{r}\right)+\frac{\partial }{\partial y}\hat{j}\left(\frac{1}{r}\right)+\frac{\partial }{\partial z}\hat{k}\left(\frac{1}{r}\right)$

$=\hat{i}\frac{\partial }{\partial x}\left\{{(x^2+y^2+z^2)}^{-\frac{1}{2}}\right\}+\hat{j}\frac{\partial }{\partial y}\left\{{(x^2+y^2+z^2)}^{-\frac{1}{2}}\right\}$$+\hat{k}\frac{\partial }{\partial z}\left\{{(x^2+y^2+z^2)}^{-\frac{1}{2}}\right\}$

$=(-\frac{1}{2})\times 2x\times {(x^2+y^2+z^2)}^{-\frac{3}{2}}\hat{i}+(-\frac{1}{2})\times 2y$

$\times {(x^2+y^2+z^2)}^{-\frac{3}{2}}\hat{j}+(-\frac{1}{2})\times 2z\times {(x^2+y^2+z^2)}^{-\frac{3}{2}}\hat{k}$

$=-{(x^2+y^2+z^2)}^{-\frac{3}{2}}(x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k})$

$=-{\left(\frac{1}{r}\right)}^3\overrightarrow{r}$

$=-\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}$

অতএব, $\overrightarrow{\nabla }\left(\frac{l}{r}\right)$ এর মান $-\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}$ ।

এখানে, $\overrightarrow{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}$

$\therefore r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

$\therefore \frac{\overrightarrow{r}}{r^2}=\frac{x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}}{x^2+y^2+z^2}=\frac{x}{r^2}\hat{i}+\frac{y}{r^2}\hat{j}+\frac{z}{r^2}\hat{k}$

এখন $\overrightarrow{\nabla }\times \left(\frac{\overrightarrow{r}}{r^2}\right)=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ \frac{x}{r^2}& \frac{y}{r^2}& \frac{z}{r^2}\end{array}\right|$

$=\hat{i}\{\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{z}{r^2}\right)-\frac{\partial }{\partial z}\left(\frac{y}{r^2}\right)\}-\hat{j}\{\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{z}{r^2}\right)-\frac{\partial }{\partial z}\left(\frac{x}{r^2}\right)\}+\hat{k}\{\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{y}{r^2}\right)-\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{x}{r^2}\right)\}$

$=\hat{i}(\frac{0-2yz}{r^4}-\frac{0-2yz}{r^4})-\hat{j}(\frac{0-2xz}{r^4}-\frac{0-2xz}{r^4})+\hat{k}(\frac{0-2xy}{r^4}-\frac{0-2xy}{r^4})$

$=0-0+0=0$

$[$ এখন $\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{z}{r^2}\right)=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{z}{x^2+y^2+z^2}\right)=\frac{(x^2+y^2+z^2)\times 0-z\left(2y\right)}{{(x^2+y^2+z^2)}^2}=\frac{0-2yz}{r^4}]$

এখন, $\overrightarrow{\nabla }\times \left(\frac{\overrightarrow{r}}{r^2}\right)$ এর মান $0$ এবং এটি অঘূর্ণনশীল।