সৃজনশীলঃ ‘একটি অবস্থান ভেক্টর…’ রাজশাহী ক্যাডেট কলেজ ২০২৬ – ভেক্টর, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

মনে করি, $\overrightarrow{A}$ এবং $\overrightarrow{B}$ দুটি ভেষ্টর এবং এদের মধ্যবর্তী কোণ $\theta$ । ভেষ্টর গুণনের সংজ্ঞানুযায়ী, $\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}=\mathrm{AB}\sin \theta \hat{\eta }$, এখানে $\hat{\eta }$ হলো একটি একক ভেক্টর যার দিক ডানহাতি স্কু নিয়ম অনুযায়ী $\overrightarrow{A}$ ও $\overrightarrow{B}$ এর সমতলের লম্ব বরাবর উপরের দিকে ।

আবার, $\overrightarrow{B}\times \overrightarrow{A}=\mathrm{BA}\sin \theta (-\hat{\eta })$
বা, $\overrightarrow{B}\times \overrightarrow{A}=-\mathrm{AB}\sin \theta \hat{\eta }$

$\therefore \overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}=-(\overrightarrow{B}\times \overrightarrow{A})$

যেহেতু $\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}\ne \overrightarrow{B}\times \overrightarrow{A}$, তাই বলা যায় ভেষ্টর গুণন বিনিময় নিয়ম মেনে চলে না ।

এখানে,
অবস্থান ডেক্টর, $\overrightarrow{r}=\mathrm{xi}+\mathrm{yj}+\mathrm{zk}$ ভেষ্টরটির মান, $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

ডিফারেনশিয়াল অপারেটর,

$\overrightarrow{\nabla }=\hat{i}\frac{\partial }{\partial x}+\hat{j}\frac{\partial }{\partial y}+\hat{k}+\frac{\partial }{\partial z}$

আমরা জানি,

$\overrightarrow{\nabla }\left(\frac{1}{r}\right)=(\hat{i}\frac{\partial }{\partial x}+\frac{\partial }{\partial j}+\hat{k}\frac{\partial }{\partial z})$

${(x^2+y^2+z^2)}^{-\frac{1}{2}}$

এখন, $\text{x}$ এর সাপেক্ষে অস্তরীকরণ করে পাই,

$\frac{\partial }{\partial x}{(x^2+y^2+z^2)}^{-\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}{(x^2+y^2+z^2)}^{-\frac{3}{2}}\cdot 2x=-\frac{x}{{(x^2+y^2+z^2)}^{\frac{3}{2}}}$

$\therefore \frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{1}{r}\right)=-\frac{x}{r^3}$

অনুরূপভাবে, $\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{1}{r}\right)=-\frac{y}{r^3}$ এবং $\frac{\partial }{\partial z}\left(\frac{1}{r}\right)=-\frac{z}{r^3}$

এখন,

$\overrightarrow{\nabla }\left(\frac{1}{r}\right)=\hat{i}(-\frac{x}{r^3})+\hat{j}(-\frac{y}{r^3})+\hat{k}(-\frac{z}{r^3})$ [মানগুলো বসিয়ে পাই]

বা, $\overrightarrow{\nabla }\left(\frac{1}{r}\right)=-\frac{1}{r^3}(x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k})$

$\therefore \overrightarrow{\nabla }\left(\frac{1}{r}\right)=-\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}$ (Ans.)