সৃজনশীলঃ ‘একটি পারমাণবিক বিদ্যুৎকেন্দ্রে…’ ২০২৫ – পরমাণুর মডেল ও নিউক্লিয়ার পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ২য় পত্র (এইচএসসি)

অর্ধায়ু ও ক্ষয় ধ্রুবক এর মধ্যে সম্পর্ক নিম্নরূপ-তেজস্ক্রিয় রূপান্তর বা সূচকীয় সূত্র হতে,

আমরা জানি,

$N=N_0{e}^{-\lambda t}$ ......... (1)

যখন $t=T_{\frac{1}{2}}$ তখন $N=\frac{N_0}{2}$

$\therefore \frac{N_0}{2}=N_0{e}^{-\lambda T_1}$ [নং সমীকরণ হতে]

বা, $\frac{1}{2}=e^{-\lambda T_{\frac{1}{2}}}$

বা, $-\lambda T_{\frac{1}{2}}=\ln \frac{1}{2}$

বা, $-\lambda T_{\frac{1}{2}}=\ln 1-\ln 2=-\ln 2[\because \ln 1=0]$

বা, $T_{\frac{1}{2}}=\frac{\ln 2}{\lambda }=\frac{0.693}{\lambda }$

অর্থাৎ তেজক্রিয় পদার্থের অর্ধায়ু এর ক্ষয় ধ্রুবকের ব্যস্তানুপাতিক। 

এটিই নির্ণেয় সম্পর্ক।

এখানে, প্রারম্ভিক পরমাণু সংখ্যা, $N_0=6.02\times {10}^{23}$.

সময়, $t=1\mathrm{yr}$

অক্ষত পরমাণু সংখ্যা, $N=1.02\times {10}^{23}$

আমরা জানি,

$N=N_0{e}^{-\lambda t}$

বা, $e^{-\lambda t}=\frac{N}{N_0}$

বা, $\lambda =\frac{\ln \left(\frac{N_0}{N}\right)}{t}=\frac{\ln \left(\frac{6.02\times {10}^{23}}{1.02\times {10}^{23}}\right)}{1\mathrm{yr}}=1.78{\mathrm{yr}}^{-1}$ 

সুতরাং, অর্ধায়ূ, $T_{\frac{1}{2}}=\frac{0.693}{\lambda }=\frac{0.693}{1.78{\mathrm{yr}}^{-1}}=0.39\mathrm{yr}$

অতএব, উদ্দীপক অনুসারে $U-235$ এর অর্ধায়ু $0.39$ বছর।

এখানে প্রারম্ভিক পরমাণু সংখ্যা, $N_0=6.02\times {10}^{23}$ টি 

১ম এক বছর পর অক্ষত পরমাণু সংখ্যা, $N=1.02\times {10}^{23}$ টি

১ম বছর, $t=1\mathrm{yr}$; ২য় বছর, $t^{\prime }=1\mathrm{yr}$

ধরি, পরবর্তী এক বছর তথা ২য় বছর পর অক্ষত পরমাণু সংখ্যা, $N^{\prime }$ 

‘গ’ হতে পাই,

অবক্ষয় ধ্রুবক,

$\lambda =1.78{\mathrm{yr}}^{-1}$

সুতরাং সূত্রানুসারে,

$\begin{array}{cc}{N}^{\prime }& ={\mathrm{Ne}}^{-\lambda t}\\ & =1.02\times {10}^{23}\times e^{-1.78{\mathrm{yr}}^{-1}\times 1\mathrm{yr}}\\ & =1.72\times {10}^{22}J\end{array}$

$\therefore$ পরবর্তী এক বছরে ভেঙে যাওয়া পরমাণু সংখ্যা

$\Delta N^{\prime }=N-N^{\prime }=(1.02\times {10}^{23}-1.72\times {10}^{22})$টি $=8.48\times {10}^{22}$

পূর্ববর্তী এক বছরে ভেঙে যাওয়া পরমাণু সংখ্যা

$\Delta N=N_{\theta }-N=(6.02\times {10}^{23}-1.02\times {10}^{23})$

$=5\times {10}^{23}t$

উপরের গাণিতিক বিশ্লেষণ হতে দেখা যাচ্ছে, $\Delta N^{\prime }\ne \Delta N$

অতএব, পরবর্তী এক বছরে ভেঙে যাওয়া পরমাণু সংখ্যা পূর্ববর্তী এক বছরে ভেঙে যাওয়া পরমাণু সংখ্যার সমান হবে না।