সৃজনশীলঃ ‘একটি পঞ্চভুজের পাঁচটি…’ ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২৪ – স্থানাঙ্ক জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $P(-1,-1),Q(1,1),M(x,y)$

এখানে,

$\begin{array}{cc}PM& =\sqrt{(x+1{)}^2+(y+1{)}^2}\\ & =\sqrt{x^2+2x+1+y^2+2y+1}=\sqrt{x^2+y^2+2x+2y+2}\end{array}$

এবং

$\begin{array}{cc}\mathrm{QM}& =\sqrt{(x-1{)}^2+(y-1{)}^2}\\ & =\sqrt{x^2-2x+1+y^2-2y+1}=\sqrt{x^2+y^2-2x-2y+2}\end{array}$

$\mathrm{PM}=2\mathrm{QM}$ হলে,

$\sqrt{x^2+y^2+2x+2y+2}=2\sqrt{x^2+y^2-2x-2y+2}$

বা, ${\left(\sqrt{x^2+y^2+2x+2y+2}\right)}^2={\left(2\sqrt{x^2+y^2-2x-2y+2}\right)}^2$

বা, $x^2+y^2+2x+2y+2=4(x^2+y^2-2x-2y+2)$

বা, $x^2+y^2+2x+2y+2=4x^2+4y^2-8x-8y+8$

বা, $x^2-4x^2+y^2-4y^2+2x+8x+2y+8y+2-8=0$

বা, $-3x^2-3y^2+10x+10y-6=0$

বা, $-(3x^2+3y^2-10x-10y+6)=0$

$\therefore 3x^2+3y^2-10x-10y+6=0$. (প্রমাণিত) 

দেওয়া আছে, PQRS চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষবিন্দু P(- 1,- 1) , Q(1, 1) R(2, 7) এবং S(- 3, 2)

$xy$ সমতলে বিন্দু চারটি স্থাপন করি

ধরি, $PS$ রেখা $x$ অক্ষকে $T$ বিন্দুতে ছেদ করে

এখন, $PS$ রেখার সমীকরণ, $\frac{y+1}{x+1}=\frac{-1-2}{-1+3}$

বা, $\frac{y+1}{x+1}=\frac{-3}{2}$

বা, $-3x-3=2y+2$

বা, $-3x-2y=2+3$

বা, $-3x-2y=5$

$\therefore 3x+2y=-5$

$PS$ রেখা $x-$ অক্ষকে $T$ বিন্দুতে ছেদ করলে $T$ বিন্দুর কোটি শূন্য।

অর্থাৎ, $y=0$

$\therefore 3x+2\times 0=-5$

বা, $3x=-5$

$\therefore x=-\frac{5}{3}$

$\therefore T$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(-\frac{5}{3},0)$

আবার, $RS$ রেখা $y-$ অক্ষকে $N$ বিন্দুতে ছেদ করে।

এখন, $RS$ রেখার সমীকরণ, $\frac{y-7}{x-2}=\frac{7-2}{2+3}$

বা, $\frac{y-7}{x-2}=\frac{5}{5}$

বা, $\frac{y-7}{x-2}=1$

বা, $x-2=y-7$

বা, $x-y=-7+2$

$\therefore x-y=-5$

$RS$ রেখা $y$ অক্ষকে $N$ বিন্দুতে ছেদ করলে $N$ বিন্দুর ভুজ শূন্য।

অর্থাৎ, $x=0$

$\therefore 0-y=-5$

$\therefore y=5$

$\therefore N$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(0,5)$

এখন, ২য় চতুর্ভাগে $N(0,5),S(-3,2),T(-\frac{5}{3},0)$ এবং $O(0,0)$

বিন্দুগুলো দ্বারা গঠিত NSTO চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল

$=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccccc}0& -3& -\frac{5}{3}& 0& 0\\ 5& 2& 0& 0& 5\end{array}\right|$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}\{0-0-0-0-(-15-\frac{10}{3}+0+0)\}$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}(15+\frac{10}{3})$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}\left(\frac{45+10}{3}\right)$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}\times \frac{55}{3}$ বর্গ একক $=\frac{55}{6}$ বর্গ একক

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল $\frac{55}{6}$ বর্গ একক।