সৃজনশীলঃ ‘একটি পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র…’ ভিকারুননিসা নূন স্কুল এন্ড কলেজ ২০২৫ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র $S(-3,-2)$

এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ $x-2y+1=0$ 

ধরি, পরাবৃত্তের উপরস্থ 

যেকোনো বিন্দু $P(x,y)$ তাহলে পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে পাই, 

$SP=PM$ 

বা, $\sqrt{(x+3{)}^2+(y+2{)}^2}=\frac{|x-2y+1|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2}}$
বা, $(x+3{)}^2+(y+2{)}^2=\frac{(x-2y+1{)}^2}{5}$ [বর্গ করে]
বা, $5(x^2+6x+9+y^2+4y+4)=(x-2y+1{)}^2$
বা, $5x^2+30x+45+5y^2+20y+20=x^2+4y^2+1-4xy-4y+2x=0$
বা, $5x^2+30x+5y^2+20y+65-x^2-4y^2-1+4xy+4y-2x=0$

$\therefore 4x^2+y^2+28x+24y+4xy+64=0$

নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ $4x^2+y^2+28x+24y+4xy+64=0$. 

ধরি, উপবৃত্তের সমীকরণ $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$..........\left(i\right)$ 

(যেখানে $a>b$ ) 

বৃহৎ অক্ষ  $2a={\mathrm{AA}}^{\prime }=2\sqrt{2}$
বা, $a=\frac{2\sqrt{2}}{2}$

$\therefore a=\sqrt{2}$

উপবৃত্তটির উপকেন্দ্র $S(1,2)$ এবং $S^{\prime }(3,2)$ 

$\therefore$ উপকেন্দ্রিক দূরত্ব, 

$2\mathrm{ae}=\sqrt{(3-1{)}^2+(2-2{)}^2}$

বা, $2\mathrm{ae}=\sqrt{2^2+0}$
বা, $2\sqrt{2}\cdot e=2$
বা, $e=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$
উৎকেন্দ্রিকতা,

$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$

বা, $c^2=1-\frac{b^2}{a^2}$
বা, ${\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^2=1-\frac{b^2}{a^2}$
বা, $\frac{1}{2}=1-\frac{b^2}{a^2}$
বা, $\frac{b^2}{a^2}=1-\frac{1}{2}$
বা, $\frac{b^2}{(\sqrt{2}{)}^2}=\frac{1}{2}$
বা, $\frac{b^2}{2}=\frac{1}{2}$
বা, $b^2=1$

$\therefore b=1$

$a$ এবং $b$ এর মান $\left(i\right)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$\frac{x^2}{(\sqrt{2}{)}^2}+\frac{y^2}{1^2}=1$

বা $\frac{x^2}{2}+y^2=1$
নিক্কেয় উপবৃত্তের সমীকর্ণ $\frac{x^2}{2}+y^2=1$.