সৃজনশীলঃ ‘একটি স্কেলার ক্ষেত্র…’ ২০২৫ – ভেক্টর, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

স্টিলের দৃঢ়তার গুণাঙ্ক $8.4\times {10}^{10}{\mathrm{Nm}}^{-2}$ বলতে বুঝায় যে, একটি স্টিলের ঘনকের আকৃতি পরিবর্তন করে 1 radiam ব্যবর্তন কোণ উৎপন্ন করতে ঘনকটির পৃষ্ঠের প্রতি বর্গমিটারে $8.4\times {10}^{10}N$ বল স্পর্শকীয়ভাবে প্রয়োগ করতে হবে।

দেওয়া আছে, স্কেলার ক্ষেত্র, $\phi =2x^2{y}^2{z}^4$

$\mathrm{div}\left\{\mathrm{grad}\right(\phi \left)\right\}=$ ?

আমরা জানি, $\mathrm{grad}\left(\phi \right)=\overrightarrow{\nabla }\phi =(\frac{\partial }{\partial x}\hat{i}+\frac{\partial }{\partial y}\hat{j}+\frac{\partial }{\partial z}\hat{k})\left(2x^2{y}^2{z}^4\right)$

$=\hat{i}\frac{\partial }{\partial x}\left(2x^2{y}^2{z}^4\right)+\hat{j}\frac{\partial }{\partial y}\left(2x^2{y}^2{z}^4\right)+\hat{k}\frac{\partial }{\partial z}\left(2x^2{y}^2{z}^4\right)$

$=4x{y}^2{z}^4\hat{i}+4x^{2}y{z}^4\hat{j}+8x^2{y}^2{z}^3\hat{k}$

আবার, $\mathrm{div}\left\{\mathrm{grad}\right(\phi \left)\right\}=\overrightarrow{\nabla }\cdot (\overrightarrow{\nabla }\cdot \phi )$.

$=(\hat{i}\frac{\partial }{\partial x}+\hat{j}\frac{\partial }{\partial y}+\hat{k}\frac{\partial }{\partial z})(4x{y}^2{z}^4\hat{i}+4x^{2}y{z}^4\hat{j}+8x^2{y}^2{z}^3\hat{k})$

$=\frac{\partial }{\partial x}\left(4x{y}^2{z}^4\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(4x^{2}y{z}^4\right)+\frac{\partial }{\partial z}\left(8x^2{y}^2{z}^3\right)$

$=4y^2{z}^4+4x^2{z}^4+24x^2{y}^2{z}^2$

অতএব, উদ্দীপকের স্কেলার ক্ষেত্রের div grad $\phi$ হলো $4y^2{z}^4+4x^2{z}^4$$+24x^2{y}^2{z}^2$

দেওয়া আছে $\overrightarrow{F}=x^{2}y\hat{i}+2xyz\hat{j}+2yz\hat{k}\overrightarrow{\nabla }$

$=\frac{\partial }{\partial x}\hat{i}+\frac{\partial }{\partial y}\hat{j}+\frac{\partial }{\partial z}\hat{k}$.

আমরা জানি, Curl $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{\nabla }\times \overrightarrow{F}$

$=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ x^{2}y& 2xyz& 2yz\end{array}\right|$

$=\hat{i}\left\{\frac{\partial }{\partial y}\right(2yz)-\frac{\partial }{\partial z}(2xyz\left)\right\}-\hat{j}\left\{\frac{\partial }{\partial x}\right(2yz)-\frac{\partial }{\partial z}\left(x^{2}y\right)\}$$+\hat{k}\left\{\frac{\partial }{\partial x}\right(2xyz)-\frac{\partial }{\partial y}\left(x^{2}y\right)\}$

$=\hat{i}(2z-2xy)-\hat{j}(0-0)+\hat{k}(2yz-x^2)$

$=(2z-2xy)\hat{i}+(2yz-x^2)\hat{k}$

এখন, $(1,-2,1)$ বিন্দুতে Curl $\overrightarrow{F}$,

$=\{2\times 1-2\times 1\times (-2\left)\right\}\hat{i}+\{2\times (-2)\times 1-1^2\}\hat{k}$

$=6\hat{i}-5\hat{k}$

অর্থাৎ, $(1,-2,1)$ বিন্দুতে $\mathrm{Curl}\overrightarrow{F},\mathrm{XZ}$ তলে অবস্থিত।

সুতরাং, $(1,-2,1)$ বিন্দুতে Curl $\overrightarrow{\text{ F }}$ দ্বি-মাত্রিক হবে।