সৃজনশীলঃ ‘একটি সরলরেখা (−2,…’ ঢাকা রেসিডেনসিয়াল মডেল কলেজ ২০২৪ – সরলরেখা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

মনে করি, নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ. $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ .... (1)

যেখানে, $\mathrm{OA}=a$এবং $\mathrm{OB}=b$

দেওয়া আছে, $\mathrm{OA}+2.\mathrm{OB}=0$

বা, $a+2b=0$

বা, $a=-2b$ ..... (2)

যেহেতু (1) রেখাটি $(-2,-5)$বিন্দুগামী।

সুতরাং (1) হতে পাই, $\frac{-2}{a}+\frac{-5}{b}=1$

বা, $\frac{-2}{-2b}+\frac{-5}{b}=1[a=-2b$ বিন্দুগামী।

বা, $\frac{1}{b}-\frac{5}{b}=1$বা, $\frac{-4}{b}=1\therefore b=-4$

সমীকরণ (2) এ $b$এর মান বসিয়ে পাই, $a=-2.(-4)=8$

সমীকরণ (1) $এ mathrm{a} diamond mathrm{b}$ এর মান বসিয়ে পাই, $\frac{x}{8}+\frac{y}{-4}=1$

বা, $x-2y=8$

$\therefore x-2y-8=0$

নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ, $x-2y-8=0$.

$(3,4)$বিন্দুগামী রেখার স্যকরণ, $y-4=m(x-3)$ ...... (1)

এটি$x-y+4=0$বা, $y=x+4$ রেখার সাথে ${60}^{\circ }$কোণ উৎপন্ন করে।

$\therefore \tan {60}^{\circ }=\pm \frac{m-1}{1+m}$

বা, $\sqrt{3}=\pm \frac{(m-1)}{m+1}$

(+ ve) মান নিয়ে, $(m+1)\sqrt{3}=m-1$

বা, $m(\sqrt{3}-1)=-1-\sqrt{3}$

বা, $m=\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}=\frac{(1+\sqrt{3})(1+\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})}$

[ডানপক্ষে লব ও হরকে $1+\sqrt{3}$দ্বারা গুণ করে]

$=\frac{1+2\sqrt{3}+3}{1-3}$

$=\frac{2\sqrt{3}+4}{-2}=-(\sqrt{3}+2)$

(-ve) মান নিয়ে, $\sqrt{3}=\frac{-(m-1)}{m+1}$

বা, $\sqrt{3}m+\sqrt{3}=-m+1$

বা, $m(\sqrt{3}+1)=1-\sqrt{3}$

বা, $m=\frac{1-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}=\frac{(1-\sqrt{3})(1-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})}$

[ডানপক্ষে লব ও হরকে $1-\sqrt{3}$দ্বারা গুণ করের]

$=\frac{1-2\sqrt{3}+3}{1-3}=\frac{4-2\sqrt{3}}{-2}=\sqrt{3}-2$

(1) নং সমীকরণে $m$এর মান বসিয়েপাই,

$m=-(\sqrt{3}+2)$হলে, $y-4=-(\sqrt{3}+2)(x-3)$

বা, $y+(\sqrt{3}+2)x=3(\sqrt{3}+2)+4=3\sqrt{3}+10$.

$m=\sqrt{3}-2$হলে, $y-4=(\sqrt{3}-2)(x-3)$

বা, $y-(\sqrt{3}-2)x=-3(\sqrt{3}-2)+4$

বা, $(2-\sqrt{3})x+y=-3\sqrt{3}+6+4$

বা, $(2-\sqrt{3})x+y=10-3\sqrt{3}$.

নির্ণেয় সমীকরণ, $y+(\sqrt{3}+2)x=3\sqrt{3}+10$

এবং $(2-\sqrt{3})x+y=10-3\sqrt{3}$