সৃজনশীলঃ ‘একটি স্থানে প্রত্নতাত্ত্বিক…’ জালালাবাদ ক্যান্টনমেন্ট পাবলিক স্কুল এন্ড কলেজ ২০২৬ – পরমাণুর মডেল ও নিউক্লিয়ার পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ২য় পত্র (এইচএসসি)

পরমাণু নিউক্লিয়াসে ইলেকট্রন নেই অথচ $\beta$-ক্ষয়ে ইলেকট্রন নির্গত হয় এর কারণ হলো পরমাণুর নিউক্লিয়াসে একটি নিউট্রন যখন একটি প্রোটনে পরিণত হয় তখনই একটি ইলেকট্রন উৎপন্ন হয়। এই ইলেকট্রনের উপর নিউক্লিয়াসের অভ্যন্তরে উপস্থিত তীব্র নিউক্লিয় বলের কোনো প্রভাব থাকে না। তাই ইলেকট্রনটি নিউক্লিয়াসের মধ্যে থাকতে পারে না $\beta$ কণা হিসেবে বেরিয়ে আসে।

এখানে,

${}_{92}^{235}U$ এর গড় আয়ু,

${\tau }_{235}=0.71$ বিলিয়ন বছর

${}_{92}^{235}U$ এর অর্ধায়ু, $T_{1/2}=?$

আমরা জানি, অর্ধায়ু ( $T_{1/2}$ ) এবং গড় আয়ু ( $\tau$ ) এর মধ্যে সম্পর্ক হলো,

$T_{1/2}=\tau \ln 2$

বা, $T_{1/2}=0.71\times 0.693$

বা, $T_{1/2}=0.492$ বিলিয়ন বছর

$\therefore T_{1/2}=0.492$ বিলিয়ন বছর

এখানে, ${}_{92}^{238}U$ এর গড় আয়ু, ${\tau }_1=4.5B$ year
$\therefore {}_{92}^{238}U$ এর ক্ষয় ধ্রুবক, ${\lambda }_1=\frac{1}{{\tau }_1}=\frac{1}{4.5}{\mathrm{By}}^{-1}=\frac{2}{9}{\mathrm{By}}^{-1}$
আবার, ${}_{92}^{235}U$ এর গড় আয়ু, ${\tau }_2=0.71\mathrm{By}$
$\therefore {}_{92}^{235}U$ এর ক্ষয় ধ্রুবক, ${\lambda }_2=\frac{1}{{\tau }_2}=\frac{1}{0.71}{\mathrm{By}}^{-1}=\frac{100}{71}{\mathrm{By}}^{-1}$

ধরি, শুরুতে উভয় আইসোটোপের $N_0$ সংখ্যক পরমাণু ছিলো এবং তারা $t$ সময় ধরে ক্ষয়প্রাপ্ত হয়ে পাথরে বর্তমানে 50:1 অনুপাতে পৌঁছেছে। অর্থাৎ পাথরের বয়স $t$ বছর।
এখন, ${}_{92}^{238}U$ এর ক্ষেত্রে :
অবশিষ্ট আইসোটোপ, $N_{238}=N_0{e}^{-{\lambda }_{1}t}$. . . . . . . . . . . . . . (i)

এবং ${}_{92}^{235}U$ এর ক্ষেত্রে :
অবশিষ্ট আইসোটোপ, $N_{235}=N_0{e}^{-{\lambda }_{2}t}$. . . . . . . . . . . . . . (ii)

(i) ও (ii) নং থেকে পাই,

$\frac{N_{238}}{N_{235}}=\frac{N_0{e}^{-{\lambda }_{1}t}}{N_0{e}^{-{\lambda }_{2}t}}$

বা, $\frac{50}{1}=e^{-{\lambda }_{1}t+{\lambda }_{2}t}$
বা, $t({\lambda }_2-{\lambda }_1)=\ln \left(50\right)$
বা, $t=\frac{\ln \left(50\right)}{\frac{100}{71}-\frac{2}{9}}=3.298\mathrm{By}$
∴ পাথরটির বয়স $3.298$ বিলিয়ন বছর।
অতএব, উদ্দীপক হতে প্রাপ্ত তথ্য দ্বারা পাথরের বয়স নির্ণয় সম্ভব।