সৃজনশীলঃ ‘একটি ট্রেন এক…’ যশোর বোর্ড ২০১৯ – সমতলে বস্তুকনার গতি, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

দুটি স্টেশনের মধ্যবর্তী মোট দূরত্ব $=s$ এবং মোট সময় $=t$

ধরি,

ট্রেনটি প্রথম অংশে $s_1$ দূরত্ব $t_1$ সময়ে $x$ সমত্বরণে অতিক্রম করে সর্বোচ্চ বেগ $v$ প্রাপ্ত হয়।

এবং দ্বিতীয় অংশে অবশিষ্ট $s_2$ দূরত্ব $t_2$ সময়ে $y$ সমমন্দনে অতিক্রম করে থেমে যায়।

সুতরাং, মোট দূরত্ব, $s=s_1+s_2$

মোট সময়, $t=t_1+t_2$

প্রথম অংশের (সমত্বরণের) ক্ষেত্রে:

শেষ বেগ, $v=u+x{t}_1\Rightarrow v=0+x{t}_1$

$\therefore t_1=\frac{v}{x}\dots \dots \left(i\right)$

এবং অতিক্রান্ত দূরত্ব, $s_1=\left(\frac{u+v}{2}\right)t_1=\frac{v}{2}{t}_1\dots \dots \left(ii\right)$

দ্বিতীয় অংশের (সমমন্দনের) ক্ষেত্রে:

শেষ বেগ, $0=v-y{t}_2$

$\therefore t_2=\frac{v}{y}\dots \dots \left(iii\right)$

এবং অতিক্রান্ত দূরত্ব, $s_2=\left(\frac{v+0}{2}\right)t_2=\frac{v}{2}{t}_2\dots \dots \left(iv\right)$

এখন সমীকরণ $\left(i\right)$ ও $\left(iii\right)$ যোগ করে পাই,

$t_1+t_2=\frac{v}{x}+\frac{v}{y}$

$\Rightarrow t=v(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})\dots \dots \left(v\right)$

আবার, সমীকরণ $\left(ii\right)$ ও $\left(iv\right)$ যোগ করে পাই,

$s_1+s_2=\frac{v}{2}{t}_1+\frac{v}{2}{t}_2$

$\Rightarrow s=\frac{1}{2}v(t_1+t_2)$

$\Rightarrow s=\frac{1}{2}vt$

$\therefore v=\frac{2s}{t}\dots \dots \left(vi\right)$

এখন $\left(vi\right)$ নং হতে $v$ এর মান $\left(v\right)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$t=\frac{2s}{t}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})$

$\Rightarrow \frac{t^2}{2s}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$

$\therefore \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{t^2}{2s}$ (প্রমাণিত)

মনে করি,

প্রক্ষিপ্ত ক্রিকেট বলের আদিবেগ $u$ এবং নিক্ষেপ কোণ $\alpha$।

আমরা জানি,

প্রাসের গতির সমীকরণ:

$y=x\tan \alpha (1-\frac{x}{R})\dots \dots \left(i\right)$

প্রশ্নমতে,

প্রাসটি $\frac{1}{b}$ দূরত্বে $\frac{1}{a}$ উচ্চতার দেওয়াল অতিক্রম করে, অর্থাৎ বলটির গতিপথ $(\frac{1}{b},\frac{1}{a})$ বিন্দুগামী।

$\left(i\right)$ নং সমীকরণে মান বসিয়ে পাই,

$\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\tan \alpha (1-\frac{1}{bR})\dots \dots \left(ii\right)$

আবার, প্রাসটি $\frac{1}{a}$ দূরত্বে $\frac{1}{b}$ উচ্চতার দেওয়াল অতিক্রম করে, অর্থাৎ বলটির গতিপথ $(\frac{1}{a},\frac{1}{b})$ বিন্দুগামী।

$\left(i\right)$ নং সমীকরণে মান বসিয়ে পাই,

$\frac{1}{b}=\frac{1}{a}\tan \alpha (1-\frac{1}{aR})\dots \dots \left(iii\right)$

সমীকরণ $\left(ii\right)$ কে $\left(iii\right)$ দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\frac{\frac{1}{a}}{\frac{1}{b}}=\frac{\frac{1}{b}\tan \alpha (1-\frac{1}{bR})}{\frac{1}{a}\tan \alpha (1-\frac{1}{aR})}$

$\Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{a}{b}\cdot \frac{1-\frac{1}{bR}}{1-\frac{1}{aR}}$

ডানপক্ষের লব ও হরের ভগ্নাংশকে $abR$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$\Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{a}{b}\cdot \frac{abR-a}{abR-b}$

$\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}=\frac{abR-a}{abR-b}$

$\Rightarrow b^2(abR-b)=a^2(abR-a)$

$\Rightarrow a{b}^{3}R-b^3=a^{3}bR-a^3$

$\Rightarrow a{b}^{3}R-a^{3}bR=b^3-a^3$

$\Rightarrow abR(b^2-a^2)=(b^3-a^3)$

$\Rightarrow R=\frac{b^3-a^3}{ab(b^2-a^2)}$

সূত্রে বিশ্লেষণ করে পাই,

$R=\frac{(b-a)(b^2+ab+a^2)}{ab(b-a)(b+a)}$

$\Rightarrow R=\frac{a^2+ab+b^2}{ab(a+b)}$

$\Rightarrow R=\frac{a^2+2ab+b^2-ab}{ab(a+b)}$

$\Rightarrow R=\frac{(a+b{)}^2-ab}{ab(a+b)}$

$\Rightarrow R=\frac{(a+b{)}^2}{ab(a+b)}-\frac{ab}{ab(a+b)}$

$\therefore R=\frac{a+b}{ab}-\frac{1}{a+b}$

অতএব, আনুভূমিক পাল্লা, $R=\frac{a+b}{ab}-\frac{1}{a+b}$ (দেখানো হলো)