সৃজনশীলঃ ‘একটি ভেক্টর, A→=2xyi^+(x2+z3)j^+2yzk^…’ ২০২৪ – ভেক্টর, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

কেন্দ্রমুখী বল : বৃত্তাকার পথে ঘূর্ণায়মান কোনো বস্তুর ওপর সর্বদা বৃত্তের কেন্দ্রের অভিমুখে যে বল ক্রিয়া করে বস্তুটিকে বৃত্তাকার পথে ঘুরতে বাধ্য করে, তাকে কেন্দ্রমুখী বল বলে।

কেন্দ্রমুখী বল ছাড়া কোনো বস্তু বৃত্তাকার পথে ঘুরতে পারে না। এই বল বস্তুর গতির অভিমুখ প্রতিনিয়ত পরিবর্তন করে তাকে বৃত্তাকার ট্র্যাকে ধরে রাখে। যদি $m$ ভরের কোনো বস্তু $r$ ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তাকার পথে $v$ রৈখিক বেগে ঘোরে, তবে ওই বস্তুর ওপর ক্রিয়াশীল কেন্দ্রমুখী বলের মান হবে: $F=\frac{m{v}^2}{r}$

দেওয়া আছে,

$\overrightarrow{A}=2xy\hat{i}+(x^2+z^3)\hat{j}+2yz\hat{k}$

এখন, $\overrightarrow{A}$ এর ডাইভারজেন্স,

$\nabla \cdot \overrightarrow{A}=(\frac{\partial }{\partial x}\hat{i}+\frac{\partial }{\partial y}\hat{j}+\frac{\partial }{\partial z}\hat{k})\cdot (2xy\hat{i}+(x^2+z^3)\hat{j}+2yz\hat{k})$

$\nabla \cdot \overrightarrow{A}=\frac{\partial }{\partial x}\left(2xy\right)+\frac{\partial }{\partial y}(x^2+z^3)+\frac{\partial }{\partial z}\left(2yz\right)$

$\nabla \cdot \overrightarrow{A}=2y+0+2y$

$\nabla \cdot \overrightarrow{A}=4y$

ভেক্টরটিকে ডাইভারজেন্সের মাধ্যমে স্কেলার রাশিতে রূপান্তর করা যায় এবং এর মান হবে $4y$।

কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্ল এর মান শূন্য হলে ভেক্টরটি অঘূর্ণনশীল এবং শূন্য না হলে ভেক্টরটি ঘূর্ণনশীল হবে।

$\overrightarrow{A}$ এর কার্ল,

$\nabla \times \overrightarrow{A}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ 2xy& x^2+z^3& 2yz\end{array}\right|$

$=\hat{i}\left[\frac{\partial }{\partial y}\right(2yz)-\frac{\partial }{\partial z}(x^2+z^3\left)\right]-\hat{j}\left[\frac{\partial }{\partial x}\right(2yz)-\frac{\partial }{\partial z}(2xy\left)\right]+\hat{k}\left[\frac{\partial }{\partial x}\right(x^2+z^3)-\frac{\partial }{\partial y}(2xy\left)\right]$

$=\hat{i}[2z-3z^2]-\hat{j}[0-0]+\hat{k}[2x-2x]$

$=(2z-3z^2)\hat{i}-0\hat{j}+0\hat{k}$

$=(2z-3z^2)\hat{i}$

মতামত: যেহেতু $\nabla \times \overrightarrow{A}\ne 0$, অর্থাৎ ভেক্টরটির কার্লের মান শূন্য নয়, তাই উদ্দীপকের ভেক্টরটি ঘূর্ণনশীল।