সৃজনশীলঃ ‘একটি ভেক্টর রাশি…’ যশোর বোর্ড ২০২৫ – ভেক্টর, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

পানি ভর্তি বালতি উল্লম্ব তলে ঘোরালে এর গতিপথ বৃত্তাকার হয়। বালতিটি যখন খাড়া উপরের দিকে অবস্থান করে তখন তার পানির ওজন খাড়া নিচের দিকে কাজ করে এবং এর উপর কেন্দ্রাবিমুখী বল - খাড়া উপরের দিকে কাজ করে। ওজন এবং কেন্দ্রবিমুখী বলের মান সমান কিন্তু বিপরীত; যা বালতির পানির ওজনকে নিষ্ক্রিয় করে দেয় এবং বালতি থেকে পানি পড়ে যায় না।

এখানে, ভেক্টর রাশি, $\overrightarrow{A}=4x^3{y}^2\hat{i}-4x^2{y}^{3}z\hat{j}-6xy{z}^3\hat{k}$

এখন, $\mathrm{curl}\left(\overrightarrow{A}\right)=\dot{\overrightarrow{\nabla }}\times \overrightarrow{A}$

$\begin{array}{cc}=& \left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ 4x^3{y}^2& -4x^2{y}^{3}z& -6xy{z}^3\end{array}\right|\\ =& \hat{i}\{\frac{\partial }{\partial y}(-6xy{z}^3)-\frac{\partial }{\partial z}(-4x^2{y}^{3}z)\}\\ & -\hat{j}\{\frac{\partial }{\partial x}(-6xy{z}^3)-\frac{\partial }{\partial z}\left(4x^3{y}^2\right)\}\\ & +\hat{k}\{\frac{\partial }{\partial x}(-4x^2{y}^{3}z)-\frac{\partial }{\partial y}\left(4x^3{y}^2\right)\}\end{array}$

$\begin{array}{cc}& =\hat{i}(-6x{z}^3+4x^2{y}^3)-\hat{j}(-6y{z}^3-0)\\ & +\hat{k}(-8x{y}^{3}z-8x^{3}y)\\ & =\hat{i}(4x^2{y}^3-6x{z}^3)+\hat{j}\left(6y{z}^3\right)-\hat{k}(8x{y}^{3}z+8x^{3}y)\end{array}$

অতএব, $\overrightarrow{A}$ ভেক্টরটির কার্ল $\hat{i}(4x^2{y}^3-6x{z}^3)+\hat{j}\left(6y{z}^3\right)-\hat{k}(8x{y}^{3}z+8x^{3}y)$.

এখানে, ভেক্টর রাশি, $\overrightarrow{A}=4x^3{y}^2\hat{i}-4x^2{y}^{3}z\hat{j}-6xy{z}^3\hat{k}$

স্কেলার রাশি, $\varphi =3x{y}^{2}z+3xy{z}^2+3y^2{z}^3$

স্কেলার ক্ষেত্রকে ভেক্টর ক্ষেত্রে রূপান্তর:

আমরা জানি,

$\begin{array}{cc}\mathrm{grad}\left(\varphi \right)=& \overrightarrow{\nabla }\varphi =(\frac{\partial }{\partial x}\hat{i}+\frac{\partial }{\partial y}\hat{j}+\frac{\partial }{\partial z}\hat{k})(3x{y}^{2}z+3xy{z}^2+3y^2{z}^3)\\ =& \hat{i}(3y^{2}z+3y{z}^2+0)+\hat{j}(6xyz+3x{z}^2+6y{z}^3)\\ & +\hat{k}(3x{y}^2+6xyz+9y^2{z}^2)\end{array}$

$\therefore \varphi$ স্কেলার ক্ষেত্র থেকে $\mathrm{grad}\left(\varphi \right)$ ভেক্টর ক্ষেত্রে রূপান্তরিত হলো।

ভেক্টর ক্ষেত্রকে স্কেলার ক্ষেত্রে রূপান্তর:

আমরা জানি, 

$\begin{array}{cc}\mathrm{div}\left(\overrightarrow{A}\right)& =(\frac{\partial }{\partial x}\hat{i}+\frac{\partial }{\partial y}\hat{j}+\frac{\partial }{\partial z}\hat{k})\cdot (4x^3{y}^2\hat{i}-4x^2{y}^{3}z\hat{j}-6xy{z}^3\hat{k})\\ & =\frac{\partial }{\partial x}\left(4x^3{y}^2\right)-\frac{\partial }{\partial y}\left(4x^2{y}^{3}z\right)-\frac{\partial }{\partial z}\left(6xy{z}^3\right)\\ & =12x^2{y}^2-12x^2{y}^{2}z-18xy{z}^2\end{array}$

$\therefore \overrightarrow{A}$ ভেক্টর ক্ষেত্র থেকে $\mathrm{div}\left(\overrightarrow{A}\right)$ স্কেলার ক্ষেত্রে রুপান্তরিত হলো। সুতরাং, গ্রেডিয়েন্টের মাধ্যমে একটি স্কেলার ক্ষেত্রকে একটি ভেক্টর ক্ষেত্রে এবং ডাইভারজেন্সের মাধ্যমে একটি ভেক্টর ক্ষেত্রকে একটি স্কেলার ক্ষেত্রে রূপান্তরিত করা যায়।