সৃজনশীলঃ ‘একটি ভেক্টর রাশি…’ রংপুর ক্যাডেট কলেজ ২০২৬ – ভেক্টর, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

কোনো গোলক যখন সান্দ্র তরলের মধ্য দিয়ে নিচে পড়তে থাকে, তখন তার ওপর তিনটি বল ক্রিয়া করে: গোলকের ওজন (নিচের দিকে), তরলের প্লবতা (উপরের দিকে) এবং সান্দ্র বল (উপরের দিকে)। গোলকের বেগ যত বাড়তে থাকে, সান্দ্র বলের মানও তত বাড়তে থাকে। এক পর্যায়ে গোলকের ওজন, প্লবতা ও সান্দ্র বলের সমষ্টির সমান হয়। ফলে গোলকের ওপর নিট বল শূন্য হয়। নিউটনের গতির প্রথম সূত্রানুসারে, নিট বল শূন্য হওয়ায় গোলকটি আর ত্বরান্বিত হয় না এবং একটি ধ্রুব বেগে নিচে পড়তে থাকে। এই ধ্রুব বেগকে প্রান্তিক বেগ বা টার্মিনাল বেগ বলে।

এখানে, ভেক্টর রাশি, $\overrightarrow{A}=4x^3{y}^2\hat{i}-4x^2{y}^{3}z\hat{j}-6xy{z}^3\hat{k}$

এখন, $\mathrm{curl}\left(\overrightarrow{A}\right)=\dot{\overrightarrow{\nabla }}\times \overrightarrow{A}$

$\begin{array}{cc}=& \left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ 4x^3{y}^2& -4x^2{y}^{3}z& -6xy{z}^3\end{array}\right|\\ =& \hat{i}\{\frac{\partial }{\partial y}(-6xy{z}^3)-\frac{\partial }{\partial z}(-4x^2{y}^{3}z)\}\\ & -\hat{j}\{\frac{\partial }{\partial x}(-6xy{z}^3)-\frac{\partial }{\partial z}\left(4x^3{y}^2\right)\}\\ & +\hat{k}\{\frac{\partial }{\partial x}(-4x^2{y}^{3}z)-\frac{\partial }{\partial y}\left(4x^3{y}^2\right)\}\end{array}$

$\begin{array}{cc}& =\hat{i}(-6x{z}^3+4x^2{y}^3)-\hat{j}(-6y{z}^3-0)\\ & +\hat{k}(-8x{y}^{3}z-8x^{3}y)\\ & =\hat{i}(4x^2{y}^3-6x{z}^3)+\hat{j}\left(6y{z}^3\right)-\hat{k}(8x{y}^{3}z+8x^{3}y)\end{array}$

অতএব, $\overrightarrow{A}$ ভেক্টরটির কার্ল $\hat{i}(4x^2{y}^3-6x{z}^3)+\hat{j}\left(6y{z}^3\right)-\hat{k}(8x{y}^{3}z+8x^{3}y)$.