সৃজনশীলঃ ‘একটিসমীকরণজোট (p-q-r)x+2qy +…’ ২০২৪ – ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

p = q = r = 1 হলে সমীকরণগুলো নিম্নরূপ :

$-x+2y+2z=-3.....\left(i\right)$

$2x-y+2z=0....\left(ii\right)$

$2x+2y-z=3\left(iii\right)$

(i), (ii), (iii) নং সমীকরণগুলো ম্যাট্রিক্সের মাধ্যমে প্রকাশ করলে হয়,

$Ax=B$

এখানে,

$ A=left[$$\begin{array}{ccc}-1& 2& 2\\ 2& -1& 2\\ 2& 2& -1\end{array}$$right],  =left[$$\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 3\end{array}$$right], x=left[$$\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}$$right] $

$det\left(A\right)=\left|\begin{array}{ccc}-1& 2& 2\\ 2& -1& 2\\ 2& 2& -1\end{array}\right|$

$=(-1)(1-4)-2(-2-4)+2(4+2)$

$=3+12+12$

$\therefore det\left(A\right)=27\ne 0$

$\therefore A^{-1}$বের করা সম্ভব।

ম্যাট্রিক্স A এর সহগুণক গুলো নিম্নরূপ :

$A_{11}=(1-4)=-3,A_{12}=-(-2-4)=6,A_{13}=(4+2)=6$

$A_{21}=-(-2-4)=6,A_{22}=(1-4)=-3,A_{23}=-(-2-4)=6$

$A_{31}=(4+2)=6,A_{32}=-(-2-4)=6,A_{33}=(1-4)=-3$

$\therefore \mathrm{Adj}\left(A\right)={\left[\begin{array}{ccc}-3& 6& 6\\ 6& -3& 6\\ 6& 6& -3\end{array}\right]}^{\top }=\left[\begin{array}{ccc}-3& 6& 6\\ 6& -3& 6\\ 6& 6& -3\end{array}\right]$

$\therefore A^{-1}=\frac{1}{\det \left(A\right)}\cdot \mathrm{Adj}\left(A\right)=\frac{1}{27}\left[\begin{array}{ccc}-3& 6& 6\\ 6& -3& 6\\ 6& 6& -3\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{9}& \frac{2}{9}& \frac{2}{9}\\ \frac{2}{9}& \frac{-1}{9}& \frac{2}{9}\\ 2/9& 2/9& -\frac{1}{9}\end{array}\right]$

এখন,

$Ax=B$

$\Rightarrow x=A^{-1}B$

$\Rightarrow x=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{9}& \frac{2}{9}& \frac{2}{9}\\ 2/9& -1/9& 2/9\\ 2/9& 2/9& -\frac{1}{9}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 3\end{array}\right]$

$\Rightarrow x=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{3}+0+\frac{2}{3}\\ -\frac{2}{3}+0+\frac{2}{3}\\ -\frac{2}{3}+0-\frac{1}{3}\end{array}\right]$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right]$

$\therefore x=1,y=0,z=-1$

$\therefore (x,y,z)=(1,0,-1)$

x, y, z এর সহগ নিয়ে গঠিত ম্যাট্রিক্স A নিম্নরূপ :

$A=\left[\begin{array}{ccc}p-q-r& 2q& 2r\\ 2p& q-p-p& 2r\\ 2p& 2q& p-p-q\end{array}\right]$

$|A|=\left|\begin{array}{ccc}p-q-r& 2q& 2r\\ 2p& 2-p-p& 2r\\ 2p& 22& p-p-q\end{array}\right|$

$=\left|\begin{array}{ccc}p-q-r+2q+2r& 2q& 2r\\ 2p+q-r-p+2r& q-p-p& 2r\\ 2p+2q+r-p-q& 2q& r-p-q\end{array}\right|$

$[c_1^{\prime }=c_1+c_2+c_3]$

$=\left|\begin{array}{ccc}p+q+r& 2q& 2r\\ p+q+r& q-p-p& 2r\\ p+q+r& 2q& p-p-q\end{array}\right|$

$=(p+q+p)\left|\begin{array}{ccc}1& 2q& 2p\\ 1& q-p-p& 2r\\ 1& 2q& p-p-q\end{array}\right|$

$=(p+q+r)\left|\begin{array}{ccc}1-1& 2q-q+p+r& 2p-2p\\ 1-1& q-p-p-2q& 2p-p+p+q\\ 1& 2q& p-p-q\end{array}\right|$

$\left[\begin{array}{c}{r}_1^{\prime }=r_1-r_2\\ r_2^{\prime }=r_2-r_3\end{array}\right]$

$=(p+q+r)\left|\begin{array}{ccc}0& p+q+r& 0\\ 0& -(p+q+r)& p+q+r\\ 1& 2q& r-p-q\end{array}\right|$

$=(p+q+r)(p+q+r)(p+q+r)\left|\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& -1& 1\\ 1& 22& p-pq\end{array}\right|$

$=(p+q+r{)}^3\{0-0+1(1-0)\}$

$=(p+q+r{)}^3$

$\therefore |A|=(p+q+r{)}^3$ (প্রমাণিত)