সৃজনশীলঃ ‘f(a)=a3+5a2+6a+8 এবং g(a)=2a(a+1)(a2+1)2…’ ঢাকা বোর্ড ২০১৬ – বীজগাণিতিক রাশি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছ, $f\left(a\right)=a^3+5a^2+6a+8$
$f\left(a\right)$ কে $(a-p)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেয় হবে

$f\left(p\right)=p^3+5p^2+6p+8$

এবং $(a-q)$ খ্যায়া তাগ করলে ভাগশেষ হবে

$f\left(q\right)=q^3+5q^2+6q+8$

শর্তানুসারে, $f\left(p\right)=f\left(q\right)$
বা, $p^3+5p^2+6p+8=q^3+5q^2+6q+8$
বা, $p^3-q^3+5p^2-5q^2+6p-6q+8-8=0$
বা, $(p-q)(p^2+pq+q^2)+5(p^2-q^2)+6(p-q)=0$
বা, $(p-q)(p^2+pq+q^2)+5(p+q)(p-q)+6(p-q)=0$
বা, $(p-q)(p^2+pq+q^2+5p+5q+6)=0$
হয়, $p-q=0$ অথবা, $p^2+pq+q^2+5p+5q+6=0$
যেহেতু, $p\ne q$

সুতরাং, $p^2+q^2+pq+5p+5q+6=0$. (দেখানো হলো) 

দেওয়া আছে, $g\left(a\right)=\frac{2a}{(a+1){(a^2+1)}^2}$
ধরি, $\frac{2a}{(a+1){(a^2+1)}^2}=\frac{A}{a+1}+\frac{Ba+C}{a^2+1}+\frac{Da+E}{{(a^2+1)}^2}$$....\left(1\right)$

যা $a$ এর সকল মানের জন্য সত্য।
$\left(1\right)$নং এর উভয়পক্ষকে $(a+1){(a^2+1)}^2$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$2a=A{(a^2+1)}^2+(Ba+C)(a+1)(a^2+1)$ 
+$(Da+E)(a+1)$$....\left(2\right)$

$\left(ii\right)$নং হতে $a^4,a^3,a^2,a$ এর সহগ ও ধ্বুবক পদ সমীকৃত করে পাই,

$A+B=0$$....\left(3\right)$ 

$B+C=0$$....\left(4\right)$

$2A+B+C+D=0$$....\left(5\right)$

$B+C+D+E=2$$....\left(6\right)$

$A+C+E=0$$....\left(7\right)$

(4) ও (6)নং হতে, $D+E=2$$....\left(8\right)$ 
(3) ও (5)নং হতে, $A+C+D=0$$....\left(9\right)$ 
(7) ও (9)নং হতে, $D-E=0$$....\left(10\right)$ 

(8) ও (10)নং হতে, $2D=2$ বা, $D=1$

$\therefore E=1$

(4) ও (5)নং থেকে, $2A+D=0$

বা, $2A+1=0$
বা, $2A=-1$
বা, $A=-\frac{1}{2}$
$\therefore B=\frac{1}{2}\left[\right(3)$ থেকে $]$
∴ (4) থেকে, $\frac{1}{2}+C=0$
বা, $C=-\frac{1}{2}$

$\therefore A=-\frac{1}{2},B=\frac{1}{2},C=-\frac{1}{2},D=1$

এবং $E=1$ এর মান (1)নং এ বসিয়ে পাই,

$\begin{array}{cc}\frac{2a}{(a+1){(a^2+1)}^2}& =-\frac{1}{2(a+1)}+\frac{\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}}{a^2+1}+\frac{a+1}{{(a^2+1)}^2}\\ & =-\frac{1}{2(a+1)}+\frac{a-1}{2(a^2+1)}+\frac{a+1}{{(a^2+1)}^2}\end{array}$

যা নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ।