সৃজনশীলঃ ‘f(θ)=cos⁡θ…’ সোনার বাংলা কলেজ ২০২৪ – বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

$f\left(\theta \right)=\cos \theta$

এখন, $\frac{1}{f\left(\theta \right)}-\frac{1}{\sqrt{1-\left\{f\right(\theta ){\}}^2}}=\frac{4}{3}$

বা, $\frac{1}{\cos \theta }-\frac{1}{\sqrt{1-{\cos }^2\theta }}=\frac{4}{3}$

বা, $\frac{1}{\cos \theta }-\frac{1}{\sin \theta }=\frac{4}{3}$

বা, $\frac{\sin \theta -\cos \theta }{\sin \theta \cdot \cos \theta }=\frac{4}{3}$

বা, $\sin \theta -\cos \theta =\frac{4}{3}\sin \theta \cos \theta$

বা, $\sin \theta -\cos \theta =\frac{2}{3}\cdot 2\sin \theta \cdot \cos \theta$

বা, $\sin \theta -\cos \theta =\frac{2}{3}\sin 2\theta$

বা, $(\sin \theta -\cos \theta {)}^2=\frac{4}{9}{\sin }^{2}2\theta$

বা,${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta -2\sin \theta \cos \theta =\frac{4}{9}{\sin }^{2}2\theta$

বা, $1-2\sin \theta \cdot \cos \theta =\frac{4}{9}{\sin }^2\theta \theta$

বা, $1-\sin 2\theta =\frac{4}{9}{\sin }^{2}2\theta$

বা, $9-9\sin 2\theta =4{\sin }^{2}2\theta$

বা, $4{\sin }^{2}2\theta +9\sin 2\theta -9=0$

$\therefore \sin 2\theta =\frac{-9\pm \sqrt{81-4\times (-9)\times 4}}{2\times 4}$

বা, $\sin 2\theta =\frac{-9\pm \sqrt{225}}{8}$

বা, $\sin 2\theta =\frac{-9\pm 15}{8}$

ধনাত্মক চিহ্ন নিয়ে পাই,

$\sin 2\theta =\frac{-9+15}{8}=\frac{3}{4}$

বা, $2\theta ={\sin }^{-1}\frac{3}{4}$

$\therefore \theta =\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{4}$ (দেখানো হলো)

$4f\left(x\right)\cdot f\left(2x\right)f\left(3x\right)=1$ যখন $0<x<\frac{\pi }{2}$

বা, $4\cos x\cdot \cos 2x\cdot \cos 3x=1$

বা, $2\cos 2x(2\cos 3x\cdot \cos x)=1$

বা, $2\cos 2x(\cos 4x+\cos 2x)=1$

বা, $2\cos 4x\cos 2x+2{\cos }^{2}2x=1$

বা, $2\cos 4x\cos 2x+2{\cos }^{2}2x-1=0$

বা, $2\cos 4x\cdot \cos 2x+\cos 4x=0$

বা, $\cos 4x(2\cos 2x+1)=0$

এখন,$:\cos 4x=0$

বা, $4x=(2n+1)\frac{\pi }{2}$

$\therefore x=(2n+1)\frac{\pi }{8}$

আবার, $2\cos 2x+1=0$

বা $\cos 2x=-\frac{1}{2}$

বা, $\cos 2x=\cos \frac{2\pi }{3}$

বা, $2x=2n\pi \pm \frac{2\pi }{3}$

$\therefore x=n\pi \pm \frac{\pi }{3}$

হলে$n=0,হলে,(\pi ,x=\frac{\pi }{8},\frac{\pi }{3},-\frac{\pi }{3}$

হলে$n=1হলে,\pi ,x=\frac{3\pi }{8},\frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3}$

হলে$x=2হলে,\pi ,x=\frac{5\pi }{8},\frac{7\pi }{3},\frac{5\pi }{3}$

সুতরাং, নিদিষ্ট সীমার মধ্যে $x=\frac{\pi }{8},\frac{\pi }{3},\frac{3\pi }{8}$