সৃজনশীলঃ ‘f(θ)=cos⁡θg(x)=p2emx−q2e−mx;p,q,m>0.…’ ঢাকা বোর্ড ২০২৫ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$f\left(\theta \right)=\cos \theta$

$\therefore f\left(3\theta \right)=\cos 3\theta$

ধরি, $g\left(\theta \right)=\cos 3\theta$

সুতরাং, $g(\theta +h)=\cos (3\theta +3h)$

মূল নিয়মের সংজ্ঞানুসারে আমরা জানি,

$\frac{d}{d\theta }g\left(\theta \right)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{g(\theta +h)-g\left(\theta \right)}{h}$

$\therefore \frac{d}{d\theta }(\cos 3\theta )=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\cos (3\theta +3h)-\cos 3\theta }{h}$

ত্রিকোণমিতির সূত্র $\cos C-\cos D=-2\sin \left(\frac{C+D}{2}\right)\sin \left(\frac{C-D}{2}\right)$ প্রয়োগ করে পাই:

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{-2\sin \left(\frac{3\theta +3h+3\theta }{2}\right)\sin \left(\frac{3\theta +3h-3\theta }{2}\right)}{h}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{-2\sin (3\theta +\frac{3h}{2})\sin \left(\frac{3h}{2}\right)}{h}$

$=\underset{h\to 0}{lim}[-2\sin (3\theta +\frac{3h}{2})\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{\sin \left(\frac{3h}{2}\right)}{\frac{3h}{2}}]$

লিমিটের মান বসিয়ে পাই:

$=-2\sin \left(3\theta \right)\cdot \frac{3}{2}\cdot 1$

$=-3\sin 3\theta$

দেওয়া আছে,

$g\left(x\right)=p^2{e}^{mx}-q^2{e}^{-mx}(p,q,m>0)$

ধরি, $y=g\left(x\right)$

xএরসাপেক্ষেঅন্তরীকরণকরেপাই$এরসাপেক্ষেঅন্তরীকরণকরেপাই:$frac{dy}{dx} = p^2 cdot m e^{mx} - q^2 cdot (-m)e^{-mx}$$Rightarrow frac{dy}{dx} = m(p^2 e^{mx} + q^2 e^{-mx})চরমমানেরজন্য$চরমমানেরজন্য,$frac{dy}{dx} = 0$$m(p^2 e^{mx} + q^2 e^{-mx}) = 0$$Rightarrow p^2 e^{mx} + q^2 e^{-mx} = 0$$Rightarrow p^2 e^{mx} = -q^2 e^{-mx}যেহেতুউদ্দীপকঅনুযায়ী$যেহেতুউদ্দীপকঅনুযায়ী$p, q, m > 0এবংযেকোনোবাস্তবসংখ্যা$এবংযেকোনোবাস্তবসংখ্যা$xএরজন্যসূচকীয়ফাংশন$এরজন্যসূচকীয়ফাংশন$e^{mx} > 0এবং$এবং$e^{-mx} > 0সেহেতুবামপক্ষেররাশিটিসর্বদাধনাত্মকহবেএবংএটিকখনোঋণাত্মকমান$,সেহেতুবামপক্ষেররাশিটিসর্বদাধনাত্মকহবেএবংএটিকখনোঋণাত্মকমান($-frac{q^2}{p^2}এরসমানহতেপারেনা।অতএব$)এরসমানহতেপারেনা।অতএব,$xএরএমনকোনোবাস্তবমানবিদ্যমাননেইযারজন্য$এরএমনকোনোবাস্তবমানবিদ্যমাননেইযারজন্য$frac{dy}{dx} = 0হয়।সুতরাং$হয়।সুতরাং$g(x)$ ফাংশনটির কোনো চরম মান বিদ্যমান নেই।