সৃজনশীলঃ ‘f:R→R, যেখানে f(x)=x2−2|x|…’ – ফাংশন ও ফাংশনের লেখচিত্র, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=x^2-2|x|;f:R\to R$

$\begin{array}{cc}f\left(x\right)=x^2& +1;g:R\to R\\ \left(\mathrm{gof}\right)\left(x\right)& =g\left(f\right(x\left)\right)=g(x^2-2(x\left)\right)\\ & ={\{x^2-2|x|\}}^2+1=x^4-4x^2|x|+4|x{|}^2+1\\ \therefore \left(\mathrm{gof}\right)(-4)& =(-4{)}^4-4(-4{)}^2+|-4|+4|-4{|}^2+1\\ & =256-4\times 16\times 4+4\times 16+1=65\\ (f\circ g)\left(x\right)& =f\left(g\right(x\left)\right)=f(x^2+1)\\ & ={(x^2+1)}^2-2|x^2+1|=x^4+2x^2+1-2|x^2+1|\\ \therefore (f\circ g)(-2)& =(-2{)}^4+2(-2{)}^2+1-2\left|\right(-2{)}^2+1|\\ & =16+8+1-2\times 5=15.\end{array}$

g¯¹ (17) নির্ণয় : R সেটের যেসকল উপাদানের প্রতিচ্ছবি 17

তাদের নিয়েই g¯¹ (17) গঠিত হবে। অর্থাৎ x = g¯¹ (17)

বাবাবা$\begin{array}{cc}& \text{ বা, }g\left(x\right)=17\text{ বা, }{x}^2+1=17\text{ বা, }{x}^2=16\\ & \therefore x_1=\pm 4\\ & \therefore g^{-1}\left(17\right)=\{-4,4\}\end{array}$

$g^{-1}\left(\right[26,37\left]\right)$ নির্ণয় : R সেটের যেসকল উপাদানের প্রতিচ্ছবি $[26,37]$ তাদের নিয়েই $g^{-1}\left(\right[26,37\left]\right)$ গঠিত হবে। অর্থাৎ x  $=g^{-1}\left(\right[26,37\left]\right)$

বা, $g\left(x\right)=[26,37]$
ধরি, $y=g\left(x\right)=x^2+1$
বা, $x^2=y-1$
বা, $x=\pm \sqrt{y-1}$  বা, $f^{-1}\left(y\right)=\pm \sqrt{y-1}[\because f(x)=y]$
$\therefore f^{-1}\left(x\right)=\pm \sqrt{x-1}$
$f^{-1}\left(26\right)=\pm \sqrt{26-1}=\pm \sqrt{25}=\pm 5$
$f^{-1}\left(37\right)=\pm \sqrt{37-1}=\pm \sqrt{36}=\pm 6$
$\therefore f^{-1}\left(\right[26,37\left]\right)=[-6,-5]\cup [5,6]$
$=\{x\in R:-6\le x\le -5$ অথবা  $5\le x\le 6\}\text{. }$