সৃজনশীলঃ ‘f(θ)=sin⁡θ…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০২৫ – যোগজীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(\theta \right)=\sin \theta$

$\therefore {\int }_0^{\pi }\frac{f\left(2x\right)}{{\left\{f(\frac{\pi }{2}+x)\right\}}^4+\left\{f\right(x){\}}^4}dx$

$={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{\sin 2x}{{\{\sin (\frac{\pi }{2}+x)\}}^4+{\sin }^{4}x}dx$

$={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{\sin 2x}{{\cos }^{4}x+{\sin }^{4}x}dx$

$={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{\sin 2x}{{({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x)}^2-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}dx$

$={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{\sin 2x}{1-\frac{1}{2}(2\sin x\cos x{)}^2}dx$

$={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{\sin 2x}{1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x}dx$

$={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{\sin 2x}{1-\frac{1}{2}(1-{\cos }^{2}2x)}dx$

$={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{\sin 2x}{1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{\cos }^{2}x}dx$

$={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{\sin 2x}{\frac{2-1+{\cos }^{2}x}{2}}dx$

$={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{2\sin 2x}{1+{\cos }^{2}2x}dx$

ধরি, $\cos 2x=z$

বা, $-2\sin 2xdx=dz$

$={\int }_1^0\frac{-dz}{1+z^2}$

$={\int }_0^1\frac{dz}{1+z^2}$

$={[{\tan }^{-1}z]}_0^1$

$={\tan }^{-1}1-{\tan }^{-1}0=\frac{\pi }{4}$

নির্ণেয় মান : $\frac{\pi }{4}$.

দেওয়া আছে,

$f\left(\theta \right)=\sin \theta$

$\therefore f^{\prime }\left(\theta \right)=\cos \theta$

আবার, $x=5f^{\prime }\left(\theta \right)$

বা, $x=5\cos \theta$

বা, $x^2=5^2{\cos }^2\theta \dots .\left(1\right)$ [বর্গ করে]

এবং $y=5f\left(\theta \right)$

বা, $y=5\sin \theta$

বা, $y^2=5^2{\sin }^2\theta \dots \dots ..\left(2\right)$ [বর্গ করে]

(1) নং ও (2) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,

$x^2+y^2=5^2({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )$

বা, $x^2+y^2=5^2$ ........ (3)

$\therefore y=\sqrt{5^2-x^2}$

$\therefore$ (3) নং বৃত্ত এবং $x=3$ রেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রফল $=2{\int }_3^{5}ydx$

$=2{\int }_3^5\sqrt{5^2-x^2}dx$

$=2{[\frac{x\sqrt{5^2-x^2}}{2}+\frac{5^2}{2}{\sin }^{-1}\frac{x}{5}]}_3^5$

$[\because \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{x\sqrt{a^2-x^2}}{2}+\frac{a^2}{2}{\sin }^{-1}\frac{x}{a}]$

$=2[(\frac{5\sqrt{5^2-5^2}}{2}+\frac{5^2}{2}{\sin }^{-1}\frac{5}{5})$

$-(\frac{3\sqrt{5^2-3^2}}{2}+\frac{5^2}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{5})]$

$=2[0+\frac{25}{2}\times \frac{\pi }{2}\frac{12}{2}-\frac{25}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{5}]$

$=\frac{25\pi }{2}-25{\sin }^{-1}\frac{3}{5}-12$

$=25\{\frac{\pi }{2}-{\sin }^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)\}-12$

$\therefore$ ক্ষুদ্রতম অথশের ক্ষেত্রফল $=25\{\frac{\pi }{2}-{\sin }^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)\}-12$ বর্গ একক