সৃজনশীলঃ ‘f(θ)=sin⁡θ…’ সিলেট বোর্ড ২০২২ – বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(\theta \right)=\sin \theta$

$\therefore f(\frac{\pi }{2}-2\theta )=\sin (\frac{\pi }{2}-2\theta )=\cos 2\theta$

বামপক্ষ $={\sin }^{-1}\left\{\sqrt{2}f\right(\theta \left)\right\}+{\sin }^{-1}\left(\sqrt{f(\frac{\pi }{2}-2\theta }\right))$

$={\sin }^{-1}(\sqrt{2}\sin \theta )+{\sin }^{-1}\left(\sqrt{\cos 2\theta }\right)$

$={\sin }^{-1}\{\sqrt{2}\sin \theta \sqrt{1-\cos 2\theta }+\sqrt{\cos 2\theta }\sqrt{1-2{\sin }^2\theta }\}$

$={\sin }^{-1}\{\sqrt{2}\sin \theta \sqrt{2{\sin }^2\theta }+\sqrt{\cos 2\theta }\cdot \sqrt{\cos 2\theta }\}$

$={\sin }^{-1}\{\sqrt{2}\sin \theta \cdot \sqrt{2}\sin \theta +\cos 2\theta \}$

$={\sin }^{-1}\{2{\sin }^2\theta +1-2{\sin }^2\theta \}$

$={\sin }^{-1}1=\frac{\pi }{2}=5$ ডানপক

$\therefore {\sin }^{-1}\left(\sqrt{2}f\right(\theta \left)\right)+{\sin }^{-1}\left(\sqrt{f(\frac{\pi }{2}-2\theta )}\right)=\frac{\pi }{2}$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $f(\frac{\pi }{2}-\theta )+\sqrt{3}f\left(\theta \right)=\sqrt{2}$

বা, $\sin (\frac{\pi }{2}-\theta )+\sqrt{3}\sin \theta =\sqrt{2}$

বা, $\cos \theta +\sqrt{3}\sin \theta =\sqrt{2}$

বা, $\frac{1}{2}\cos \theta +\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \theta =\frac{\sqrt{2}}{2}$

[উভয় পক্ষকে $\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=2$ দ্বারা ভাগ করে]

বা, $\cos \frac{\pi }{3}\cdot \cos \theta +\sin \frac{\pi }{3}\sin \theta =\frac{1}{\sqrt{2}}$

বা, $\cos (\theta -\frac{\pi }{3})=\cos \frac{\pi }{4}$

বা, $\theta -\frac{\pi }{3}=2n\pi \pm \frac{\pi }{4};n\in Z$

বা, $\theta =2n\pi \pm \frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{3}$

$\therefore \theta =2n\pi +\frac{7\pi }{12},2n\pi +\frac{\pi }{12}$যেখানে$n\in z$

নির্ণেয় সমাধান  : $\theta =2n\pi +\frac{7\pi }{12},2n\pi +\frac{\pi }{12}$ যেখানে $n\in z$.