সৃজনশীলঃ ‘f(t)=tan⁡t…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০২৫ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(t\right)=tant$

ধরি, $y=4+2f\left(x\right)\cos x-3\left\{f\right(x){\}}^2{\cos }^{2}x$

বা, $y=4+2\tan x\cos x-3{\tan }^{2}x{\cos }^{2}x\stackrel{\oplus }{=}4$$+2\frac{\sin x}{\cos x}\cos x-3\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}{\cos }^{2}x$

বা, $y=4+2\sin x-3{\sin }^{2}x$

উভয়পক্ষকে $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

$\frac{dy}{dx}=0+2\cos x-6\sin x\cos x$

$=2\cos x-3.2\sin x\cos x=2\cos x-3\sin 2x$

$x$ এর সাপেক্ষে পুনরায় অন্তরীকরণ করে পাই,

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-2\sin x-3\cos 2x.2$

$=-2\sin x-6\cos 2x=-2\sin x-6(1-2{\sin }^{2}x)$

$=-2\sin x-6+12{\sin }^{2}x=12{\sin }^{2}x-2\sin x-6$

চরম মানের জন্য, $\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=0$

বা, $2\cos x-3\sin 2x=0$

বা, $2\cos x-6\sin x\cos x=0$

বা, $2\cos x(1-3\sin x)=0$

হয়, $\cos x=0$

বা, $\cos x=\cos \frac{\pi }{2}$

$\therefore x=\frac{\pi }{2}$

যখন $\cos x=0$ তখন $\sin x=1$

কিস্তু $0<x<\frac{\pi }{2}$.

অথবা, $1-3\sin x=0$

বা, $\sin x=\frac{1}{3}$

বা, $x={\sin }^{-1}\frac{1}{3}$

$\therefore 0<x<\frac{\pi }{2}$ সীমার মধ্যে $\sin x$ এর কেবল একটি মান পাওয়া যাবে।

$\therefore 0<x<\frac{\pi }{2}$ সীমার মধ্যে x এর কোনো মান এর জন্য $\cos x=0$ সত্য নয়।

সুতরাং $x=\frac{\pi }{2}$ বিন্দুতে ফাংশনের কোনো চরমমান নেই।

আবার, $\sin x=\frac{1}{3}$ হলে, $\frac{d^{2}y}{\mathrm{dx}}=12{\left(\frac{1}{3}\right)}^2-2\left(\frac{1}{3}\right)-6$

$=\frac{4}{3}-\frac{2}{3}-6=\frac{4-2-18}{3}=-\frac{16}{3}<01$

সুতরাং $x={\sin }^{-1}\frac{1}{3}$ রিন্দুতে $y$ ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান বিদ্যমান।

$\therefore$ সর্বোচ্চ মান, $y_{max}=4+2\left(\frac{1}{3}\right)-3{\left(\frac{1}{3}\right)}^2=4+\frac{2}{3}=\frac{1}{3}=\frac{12+2-1}{3}=\frac{13}{3}$

নির্ণেয় সর্বোচ্চ মান : $\frac{13}{3}$

দেওয়া আছে, $f\left(t\right)=x\tan t$

$\therefore x=f\left(t\right)=\tan t$

বা, $x=\tan t$

বা, $t={\tan }^{-1}x$

এবং $y=f\left(pt\right)=\tan \left(pt\right)=\tan (p{\tan }^{-1}x)$

উভয়পক্ষকে $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

$y_1={\sec }^2(p{\tan }^{-1}x)\cdot \frac{p}{1+x^2}$

বা, $y_1=\{1+{\tan }^2(P{\tan }^{-1}x)\}\cdot \frac{P}{1+x^2}$$[\because {\sec }^2\theta =1+{\tan }^2\theta ]$

বা, $y_1=\frac{p}{1+x^2}(1+{\tan }^2(p{\tan }^{-1}x)$

বা, $y_1=\frac{p}{1+x^2}(1+y^2)$

বা, $(1+x^2)y_1=p(1+y^2)$

পুনরায় $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকর করে পাই,

বা, $(1+x^2)y_2+y_1(0+2x)=p(0+2y{y}_1)$

বা, $(1+x^2)y_2+2x{y}_1=2py{y}_1$

বা, $(1+x^2)y_2+2x{y}_1-2py{y}_1=0$

$\therefore (1+x^2)y_2+2(x-\mathrm{py})y_1=0$. (দেখানো হলো)