সৃজনশীলঃ ‘f(u)=sin−1⁡u এবং g(u)=u1+cos2⁡u…’ আদমজী ক্যান্টনমেন্ট কলেজ ২০২৪ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

$f\left(u\right)={\sin }^{-1}u$

$\therefore f\left(x\right)={\sin }^{-1}x$

$\therefore f\left(2x\right)={\sin }^{-1}\left(2x\right)$

প্রদত্ত রাশি$y=\left\{f\right(2x){\}}^2$.

$={\{{\sin }^{-1}(2x\left)\right\}}^2$

x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে

$y_1=2{\sin }^{-1}\left(2x\right)\cdot 2\cdot \frac{1}{\sqrt{1-4x^2}}$

$\Rightarrow \sqrt{1-4x^2}{y}_1=4{\sin }^{-1}\left(2x\right)$

$\Rightarrow {(\sqrt{1-4x^2}\cdot y_1)}^2=4{\sin }^{-1}\left(2x\right)\}$

$\Rightarrow (1-4x^2)\cdot y_1^2=16\cdot y[y={\sin }^{-2}(2x\left)\right]$

x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে

$\Rightarrow 2y_1{y}_2(1-4x^2)+y_1^2(-8x)-16y_1=0$

$\Rightarrow y_2(1-4x^2)-4x{y}_1-8y=0$ (প্রমাণিত)

$I={\int }_0^{\pi }g\left(x\right)dx$

$1÷{\int }_0^{\pi }\frac{x}{1+{\cos }^{2}x}dx$

$\Rightarrow I={\int }_0^{\pi }\frac{(\pi -x)dx}{1+{\cos }^2(\pi -x)}\because {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\int }_a^{b}f(a+b-x)d$

$\Rightarrow I={\int }_0^{\pi }\frac{\pi dx}{1+{\cos }^{2}x}-{\int }_0^{\pi }\frac{xdx}{1+{\cos }^{2}x}$

$\Rightarrow I=\pi {\int }_0^{\pi }\frac{dx}{1+{\cos }^{2}x}-I$

$\Rightarrow \frac{2I}{\pi }={\int }_0^{\pi }\frac{{\sec }^{2}x}{1+{\sec }^{2}x}dx{[{\sec }^{-2}\sin \mathrm{sen}]}^{-1}$

$\Rightarrow \frac{2I}{\pi }={\int }_0^{\pi }\frac{{\sec }^{2}x}{2+{\tan }^{2}x}dx$

ধরি, $\tan x=t$

${\sec }^{2}xdx=dt$

$\Rightarrow \frac{2I}{\pi }={\int }_0^{\pi }\frac{dt}{2+t^2}$