সৃজনশীলঃ ‘f(x)=1(x−1)(x2+1)একটি ফাংশন এবংy2=1−xএকটি…’ চট্টগ্রাম কলেজ ২০২৪ – যোগজীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\frac{1}{(x-1)(x^2+1)}$

$\int xf\left(x\right)dx=\int \frac{x}{(x-1)(x^2+1)}dx$

মনে করি, $\frac{x}{(x-1)(x^2+1)}\equiv \frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}$

উভয়পক্ষে $(x-1)(x^2+1)$দ্বারা গুণ করে পাই,

$x\equiv A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1)$ ......... (i)

(i)নং এ x=1 বসিয়ে,

$1=2A$বা, $A=\frac{1}{2}$

(i)নং এ $x=0$ বসিয়ে,

$0=A-C$বা, $=A=\frac{1}{2}$

(i)নং এর উভয়পক্ষ হতে $x^2$এর সহগ সমীকৃত করে পাই,

$0=A+B$

বা, $B=-A=-\frac{1}{2}$

$\frac{x}{(x-1)(x^2+1)}=\frac{\frac{1}{2}}{x-1}+\frac{-\frac{x}{2}+\frac{1}{2}}{x^2+1}$

$=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x-1}-\frac{1}{2}\cdot \frac{x}{x^2+1}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x^2+1}$

$\therefore \int \frac{x}{(x-1)(x^2+1)}dx$

$=\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x-1}-\frac{1}{4}\int \frac{2x}{x^2+1}dx+\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x^2+1}$

$=\frac{1}{2}\ln |x-1|-\frac{1}{4}\ln (x^2+1)+\frac{1}{2}{\tan }^{-1}x+c$

দেওয়া আছে, বৃত্তের সমীকরণ, $x^2+y^2=1$

পরাবৃত্তের সমীকরণ, $y^2=1-x$

এখন, $x^2+y^2=1$ ...... (i)

এবং $y^2=1-x$..... (ii) সমীকরণদ্বয় সমাধান করি।

(ii)নং হতে $y^2$-এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

$x^2+1-x=1$

বা, $x(x-1)=0$

$\therefore x=0,1$

(ii)নং হতে পাই,

$x=0$হলে, $y=\pm 1$

$x=1$হলে, $y=0$

অর্থাৎ, (i)নং বৃত্ত ও (ii)নং পরাবৃত্ত $(1,0),(0,1)$ও $(0,-1)$বিন্দুতে ছেদ করে।

বৃত্তের আবদ্ধ অংশের ক্ষেত্রফল = $2\times$ APBQA ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

$={\int }_0^1(y_1-y_2)dx$

$=2{\int }_0^1(\sqrt{1-x^2}-\sqrt{1-x})dx=2{\int }_0^1\sqrt{1-x^2}dx-2{\int }_0^1\sqrt{1-x}dx$

$=2M-2{\left[\frac{(1-x{)}^{\frac{3}{2}}}{-\frac{3}{2}}\right]}_0^1$ [এখানে, $M={\int }_0^1\sqrt{1-x^2}dx]$

$=2M+\frac{4}{3}(0-1)=2M-\frac{4}{3}$

$M={\int }_0^1\sqrt{1-x^2}dx$

ধরি, $x=\sin \theta$বা, $dx=\cos \theta d\theta$

যখন $x=0$, তখন $\theta =0$

এবং যখন $x=1$, তখন $\theta =\frac{\pi }{2}$

$M={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{1-{\sin }^2\theta }\cdot \cos \theta d\theta$

$=\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}2{\cos }^2\theta d\theta =\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(1+\cos 2\theta )d\theta$

$=\frac{1}{2}{[\theta +\frac{1}{2}\sin 2\theta ]}_0^{\frac{\pi }{2}}=\frac{1}{2}[(\frac{\pi }{2}+0)-0]=\frac{\pi }{4}$

$\therefore$বৃত্তের আবদ্ধ অংশের ক্ষেত্রফল $=2\cdot \frac{\pi }{4}-\frac{4}{3}=(\frac{\pi }{2}-\frac{4}{3})$বর্গ একক। নির্ণেয় ক্ষেত্রফল $(\frac{\pi }{2}-\frac{4}{3})$বর্গ একক।