সৃজনশীলঃ ‘f(x)=1sin⁡x,g(x)=1tan⁡x,h(x)=x…’ রাজশাহী বোর্ড ২০১৭ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\frac{1}{\sin x}$ এবং $g\left(x\right)=\frac{1}{\tan x}$

$\therefore \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{\frac{1}{\sin x}}{\frac{1}{\tan x}}=\frac{\tan x}{\sin x}=\frac{1}{\sin x}\times \frac{\sin x}{\cos x}=\sec x$

ধরি, $p\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\sec x$

$\therefore p(x+h)=\sec (x+h)$

আমরা জানি, $\frac{d}{\mathrm{dx}}\left\{p\right(x\left)\right\}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{p(x+h)-p\left(x\right)}{h}$

$\therefore \frac{d}{dx}\left\{\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right\}=\frac{d}{dx}(\sec x)$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\sec (x+h)-\sec x}{h}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h}\{\frac{1}{\cos (x+h)}-\frac{1}{\cos x}\}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h}\left\{\frac{\cos x-\cos (x+h)}{\cos x\cos (x+h)}\right\}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h}\left\{\frac{2\sin \left(\frac{x+x+h}{2}\right)\sin \left(\frac{x+h-x}{2}\right)}{\cos x\cos (x+h)}\right\}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h}\left\{\frac{2\sin (x+\frac{h}{2})\sin \frac{h}{2}}{\cos x\cos (x+h)}\right\}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\times \frac{lim}{h\to 0}\frac{\sin (x+\frac{h}{2})}{\cos x\cos (x+h)}$

$=1\times \frac{\sin x}{\cos x\cdot \cos x}=\frac{1}{\cos x}\cdot \frac{\sin x}{\cos x}$

$=\sec x\tan x$

$\therefore \frac{d}{dx}(\sec x)=\sec x\tan x(Ans.)$

দেওয়া আছে, $h\left(x\right)=x\therefore h\left(x\right)+\frac{1}{h\left(x\right)}=x+\frac{1}{x}$

 ধরি, $y-x+\frac{1}{x}\therefore \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}-1-\frac{1}{x^2}$

গুরুমান ও লঘুমানের জন্য, $\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=0$

বা, $1-\frac{1}{x^2}=0$ বা, $x^2=$ বা, $x=\pm 1$

আবার, $\frac{d^{2}y}{{\mathrm{dx}}^2}=\frac{2}{x^3}$

$x=1$ হলে, $\frac{d^{2}y}{{\mathrm{dx}}^2}=\frac{2}{1}=2>0$

$\therefore x=1$ বিন্দুতে, ফাংশनটির লঘুমান বিদ্যমান।

অতএব, লঘুমাन $=1+\frac{1}{1}=2$

$x=-1$ হলে, $\frac{d^{2}y}{{\mathrm{dx}}^2}=\frac{2}{(-1{)}^3}=-2<0$

$\therefore x=-1$ বিন্দুতে, ফাংশনটির গুরুমান বিদ্যমান।

অতএব, গুরুমান $=(-1)+\frac{1}{-1}=-2$

সুতরাং, ফাংশনটির গুরুমান, লঘুমান অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর। (দেখানো হলো)