সৃজনশীলঃ ‘f(x)=(1+x)k,g(x)=(1+ax)8 এবংh(x)=x3+6bx2+(9b2−2)x+4b−1…’ চট্টগ্রাম কলেজ ২০২৬ – দ্বিপদী বিস্তৃতি, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছ, $f\left(x\right)=(1+x{)}^k=1+kx+\frac{k(k-1)}{2}{x}^2+$.........

$g\left(x\right)=(1+ax{)}^8=1+8ax+\frac{8(8-1)}{2}(ax{)}^2+\dots \dots$
$=1+8ax+28a^2{x}^2+\dots \dots$
$f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)=\{1+kx+\frac{k(k-1)}{2}{x}^2+\dots \dots \}(1+8ax+28a^2{x}^2+\dots \dots )$
$=1+8ax+28a^2{x}^2+kx+8ak{x}^2+\frac{k(k-1)}{2}{x}^2+\dots \dots$
$=1+(8a+k)x+(\frac{k(k-1)}{2}+8ak+28a^2)x^2+\dots \dots$

প্রশ্নমতে, 8a+k=20.............

$\frac{k(k-1)}{2}+8ak+28a^2=0$
(1) নং হতে পাই, $k=20-8a$ ....................(3)
k এর মান (2) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
$\frac{(20-8a)(19-8a)}{2}+8a(20-8a)+28a^2=0$

বা, $(20-8a)(19-8a)+16a(20-8a)+56a^2=0$
বা, $380-160a-152a+64a^2+320a-128a^2+56a^2=0$
বা, $-8a^2+8a+380=0$
বা, $-4(2a^2-2a-95)=0$
বা, $2a^2-2a-95=0$
বা, $a=\frac{-(-2)\pm \sqrt{(-2{)}^2-4\cdot 2\cdot (-95)}}{2\cdot 2}$
বা, $a=\frac{2\pm \sqrt{4+760}}{4}$
বা, $a=\frac{2\pm \sqrt{764}}{4}$
বা, $a=\frac{2(1\pm \sqrt{191})}{4}$
বা, $a=\frac{1\pm \sqrt{191}}{2}$
$\therefore a=\frac{1+\sqrt{191}}{2},\frac{1-\sqrt{191}}{2}$
$=\frac{1+\sqrt{191}}{2}$ হলে (3) নং হতে পাই,  $k=20-8\times \frac{1+\sqrt{191}}{2}$
$=20-4-4\sqrt{191}$
$=16-4\sqrt{191}$
$a=\frac{1-\sqrt{191}}{2}$ হলে (3) নং হতে পাই,
$k=20-8\times \frac{1-\sqrt{191}}{2}$
$=20-4+4\sqrt{191}$
$=16-4\sqrt{191}$
$\therefore k=16\pm 4\sqrt{191}$
নির্ণেয় মান : $k=16\pm 4\sqrt{191}$ এবং, $a=\frac{1\pm \sqrt{191}}{2}$

দেওয়া আছে, $h\left(x\right)=x^3+6b{x}^2+(9b^2-2)x+(4b-1)$
এবং $h\left(x\right)=0$
বা, $x^3+6b{x}^2+(9b^2-2)\dot{x}+(4b-1)=0$
সমীকরণটি মূলত্রয় সমান্তর প্রতামনভুক্ত,
ধরি, সমীকরণটির মূলত্রয় $\alpha -\beta ,\alpha ,\alpha +\beta$
এখন, $\alpha -\beta +\alpha +\alpha +\beta =-\frac{6b}{1}=-6b$
বা, $3\alpha =-6b$
$\therefore \alpha =-2b$

এবং $(\alpha -\beta )\alpha +\alpha (\alpha +\beta )+(\alpha +\beta )(\alpha -\beta )=\frac{9b^2-2}{1}$
বা, ${\alpha }^2-\alpha \beta +{\alpha }^2+\alpha \beta +{\alpha }^2-{\beta }^2=9b^2-2$
বা, $3{\alpha }^2-{\beta }^2=9b^2-2$
বা, $3(-2b{)}^2-{\beta }^2=9b^2-2$
বা, $12b^2-{\beta }^2=9b^2-2$
বা, ${\beta }^2=12b^2-9b^2-2$
$\therefore {\beta }^2=3b^2+2$

আবার, $(\alpha -\beta )\alpha (\alpha +\beta )=-\frac{4b-1}{1}$
বা, $\alpha ({\alpha }^2-{\beta }^2)=-4b+1$
বা, $(-2b)\left\{\right(-2b{)}^2-3b^2-2\}=-4b+1$
বা, $(-2b)(4b^2-3b^2-2)=-4b+1$
বা, $(-2b)(b^2-2)=-4b+1$
বা, $-2b^3+4b=-4b+1$
বা, $-2b^3=-8b+1$ বা, $2b^3=8b-1$
$\therefore b^3=\frac{8b-1}{2}$(প্রমাণিত).