সৃজনশীলঃ ‘f(x)=1+x+1xg(x,y)=y(x−2)(x−3)−x+10…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২৫ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

ধরি, $y=f\left(x\right)=1+x+\frac{1}{x}$

$x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

বা, $\frac{dy}{dx}=0+1-\frac{1}{x^2}$

$\therefore \frac{dy}{dx}=1-\frac{1}{x^2}$

পুনরায় $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে,

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=0-\frac{d}{dx}\left(x^{-2}\right)$

বা, $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-(-2)x^{-2-1}$

বা, $\frac{dy}{d{x}^2}=2\times x^{-3}$

$\therefore \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{2}{x^3}$

গুরুমান ও লঘুমানের জন্য, $\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=0$

বা, $1-\frac{1}{x^2}=0$

বা, $\frac{1}{x^2}=1$

বা, $x=\pm 1$

এখন, $x=-1$ হলে, $\frac{d^{2}y}{{\mathrm{dx}}^2}=\frac{2}{(-1{)}^3}=-2<0$

সুতরাং $x=-1$ বিন্দুতে $f\left(x\right)$ ফাংশনটির গুরুমান বিদ্যমান।

$\therefore$ গুরুমান $=1-1+\frac{1}{-1}=-1$

আবার, $x=1$ হলে, $\frac{d^{2}y}{{\mathrm{dx}}^2}=\frac{2}{(1{)}^3}=2>0$

সুতরাং, $x=2$ বিন্দুতে $f\left(x\right)$ ফাংশনটির লঘুমান বিদ্যমান।

$\therefore$ লঘুমান $=1+1+\frac{1}{1}=3$

যেহেতু, $3>-1$ অর্থাৎ, লঘুমান > গুরুমান, সুতরাং, $f\left(x\right)$ ফাংশনটির লঘুমান গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

দেওয়া আছে, $g(x,y)=y(x-2)(x-3)-x+10$

$\therefore g(x,y)=0$ হলে, $y(x-2)(x-3)-x+10=0$

বা, $y(x^2-5x+6)-x+10=0$

বা, $x^{2}y-5xy-x+6y+10=0$

রেখাটি $x$ অক্ষকে ছেদ করলে $y=0$

$\therefore x^3\cdot 0-5\cdot x\cdot 0-x+6\cdot 0+10=0$

বা, $0-0-x+0+10=0$

বা, $0-x+10=0$

বা, $x=10$

$\therefore x$ অক্ষের ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক $(10,0)$

এখন, (1) নং কে $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

$x^2\cdot \frac{dy}{dx}+y\frac{d}{dx}\left(x^2\right)-5(y\frac{dx}{dx}+x\frac{dy}{dx})-\frac{dx}{dx}+6\frac{dy}{dx}+\frac{d}{dx}\left(10\right)=0$

বা, $x^2\frac{dy}{dx}+2xy-5y-5x\frac{dy}{dx}-1+6\frac{dy}{dx}+0=0$

বা, $(x^2-5x+6)\frac{dy}{dx}=1+5y-2xy$

বা, $\frac{dy}{dx}=\frac{1+5y-2xy}{x^2-5x+6}$

$\therefore (10,0)$ বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের ঢাল,

$m_1=\frac{dy}{dx}=\frac{1+0-0}{{10}^2-(5\times 10)+6}=\frac{1}{100-50+6}=\frac{1}{56}$

এবং $(10,0)$ বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাঁল,

$m_2=-\frac{1}{m_1}=-56$

$\therefore (10,0)$ বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ,

$y-0=\frac{1}{56}(x-10)$

বা, $56y=x-10$

$\therefore x-56y-10=0$

এবং $(10,0)$ বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের সমীকরণ,

$y-0=-56(x-10)$

বা, $y=-56x+560$

$\therefore 56x+y-560=0$

নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ, $x-56y-10=0$ এবং অভিলম্বের সমীকরণ $56x+y-560=0$.