সৃজনশীলঃ ‘F(x)=27×2+6x−(m+2),P(x)=rx2−2nx+4 m এবং…’ ঢাকা বোর্ড ২০১৯ – যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $F\left(x\right)=27x^2+6x-(m+2)$

$F\left(x\right)=0$ হলে, $27x^2+6x-(m+2)=0$

ধরি, একটি মূল $\alpha$ এবং অপর মূল ${\alpha }^2$ ।

$\therefore \alpha +{\alpha }^2=\frac{-6}{27}$

বা, $\alpha +{\alpha }^2=\frac{-2}{9}$.

বা, $9{\alpha }^2+9\alpha +2=0$

বা, $9{\alpha }^2+6\alpha +3\alpha +2=0$

বা, $3\alpha (3\alpha +2)+1(3\alpha +2)=0$

বা, $(3\alpha +2)(3\alpha +1)=0$

হয়, $3\alpha +2=0$

বা, $\alpha =\frac{-2}{3}$

অথবা, $3\alpha +1=0$

বা, $\alpha =\frac{-1}{3}$

এবং $\alpha \cdot {\alpha }^2=\frac{-(m+2)}{27}$

বা, ${\alpha }^3=\frac{-(m+2)}{27}......\left(i\right)$

$\alpha =\frac{-2}{3}$ হলে (i) নং সমীকরণ হতে,

${\left(\frac{-2}{3}\right)}^3=\frac{-(m+2)}{27}$

বা, $\frac{-8}{27}=\frac{-(m+2)}{27}$

বা, $m+2=8$

বা, $m=6$

আবার, $\alpha =\frac{-1}{3}$ হলে, (i) নং সমীকরণ হতে,

${\left(\frac{-1}{3}\right)}^3=\frac{-(m+2)}{27}$

বা, $\frac{-1}{27}=\frac{-(m+2)}{27}$

বা, $m+2=1$

বা, $m=-1$

নির্ণেয় মান : $m=6,-1$.

দেওয়া আছে, $P\left(x\right)=r{x}^2-2nx+4m$

$P\left(x\right)=0$ হলে, $r{x}^2-2nx+4m=0.......\left(i\right)$

এবং $Q\left(x\right)=m{x}^2+nx+r$

$Q\left(x\right)=0$ হলে, ${\mathrm{mx}}^2+\mathrm{nx}+r=0.........\left(ii\right)$

ধরি, (i) ও (ii) এর সাধারণ মূল $\alpha$

$\therefore r{\alpha }^2-2n\alpha +4m=0.........\left(iii\right)$

এবং $m{\alpha }^2+n\alpha +r=0.........\left(iv\right)$

(iii) ও (iv) হতে বজ্রগুণনের সূত্রানুসার পাই,

$\frac{{\alpha }^2}{-2nr-4mn}=\frac{\alpha }{4m^2-r^2}=\frac{1}{rn+2mn}$

$\therefore {(4m^2-r^2)}^2=(-2nr-4mn)(rn+2mn)$

$[\because \frac{{\alpha }^2}{a}=\frac{\alpha }{b}=\frac{1}{c}$ হলে, $b^2=a]$

বা, $(2m+r{)}^2(2m-r{)}^2=-2n(r+2m)\cdot n(r+$$2m$ )

বা, $(2m+r{)}^2(2m-r{)}^2+2n^2(r+2m{)}^2=0$

বা, $(2m+r{)}^2\left\{\right(2m-r{)}^2+2n^2\}=0$

হয়, $(2m+r{)}^2=0$ অথবা, $(2m-r{)}^2+2n^2=0$

বা, $2m+r=0$

$\therefore (2m-r{)}^2+2n^2=0$ অথবা $2m+r=0$. (প্রমাণিত)