সৃজনশীলঃ ‘f(x)=2x+1(x2+4)(x−1) এবং g(x)=x2…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০২২ – যোগজীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\frac{2x+1}{(x^2+4)(x-1)}$

ধরি,

$\frac{2x+1}{(x^2+4)(x-1)}\equiv \frac{Ax+B}{(x^2+4)}+\frac{C}{(x-1)}$.

$\Rightarrow (2x+1)=(Ax+B)(x-1)+\cdots C\times (x^2+4)$

(ii) নং এ$এx=1$ বসিয়ে,

$\begin{array}{cc}2+1& =0+c(1+4)\\ \Rightarrow 3& =5c\\ \Rightarrow C& =\frac{3}{5}\end{array}$

এখন (ii) নং থেকে,

$\begin{array}{cc}& 2x+1=Ax-Ax+Bx-B+C{x}^2+4C\\ & 2x+1=x^2(A+C)+x(B-A)+4C-B\end{array}$

উভয় পক্ষ্যে সহগ সমীকৃত করে পাই,

$B-A=2$

$A+C=0$$4C-B=1$

$A+C=0$

$\Rightarrow A=-C=-\frac{3}{5}\therefore A=-3/5$

এবং, $B-A=2$

$\Rightarrow B=2+A$

$=2-\frac{3}{5}$

$=\frac{7}{5}$

A,B,C এড় মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই,

$\therefore \frac{2x+1}{(x^2+4)(9x-1)}=\frac{(\frac{-3}{5}x+\frac{7}{5})}{(x^2+4)}+\frac{\frac{-3}{5}}{(x-1)}$

$=-\frac{1}{5}[\frac{(3x-7)}{2^2+4}+\frac{3}{x-1}]$

$\therefore \frac{2x+1}{(x^2+4)(x-1)}=\frac{-1}{5}[\int \frac{3x-7}{x^2+4}dx+3\mathrm{in}(x-1\left)\right]$

$=\frac{-1}{5}\int (\frac{3x}{x^2+4}-\frac{7}{x^2+4})dx+3\ln (x-1)$

$=-\frac{1}{5}[\frac{3}{2}\int \frac{2x}{x^2+4}dx-\frac{2\times 7}{4}\int \frac{1/2}{1+{\left(\frac{x}{2}\right)}^2}dx]+3\ln (x-1)$

$=\frac{-1}{5}[\frac{3}{2}\ln (x^2+4)-\frac{7}{2}{\tan }^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)]+3\ln (x-1)]+c$ [बেখানে $c$ একত্রী যেগাত্রীকরণ ধ্রুবক $]$

$=\frac{-3}{10}\ln (x^2+4)+\frac{7}{10}{\tan }^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{3}{5}\ln (x-1)+c$ ans.

দেওয়া আছে, $g\left(x\right)=x^2$

এবং $y=4g\left(x\right)$

$\therefore y=4x^2............\left(i\right)$

এবং $y=2x.......................\left(ii\right)$

(1) নং সমীকরণে $y=2x$ বসিয়ে পাই,

$2x=4x^2$

বা, $2x^2-x=0$

বা, $x(2x-1)=0$

$\therefore x=0,x=\frac{1}{2}$

$x=0$ হলে (2)নং হতে পাই, $y=0$

$x=\frac{1}{2}$ হলে (2)নং হতে পাই, $y=1$

$\therefore$ (1)নং পরাবৃত্ত ও (2)নং রেখা পরস্পর $O(0,0)$ এবং $B(\frac{1}{2},1)$ বিন্দুতে ছেদ করে।

$\therefore$ (1)নং ও (2)নং দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

বর্গএকক$\begin{array}{cc}& ={\int }_0^{\frac{1}{2}}(y_1-y_2)\mathrm{dx}={\int }_0^{\frac{1}{2}}(2x-4x^2)\mathrm{dx}\\ & =2{\int }_0^{\frac{1}{2}}\mathrm{xdx}-4{\int }_0^{\frac{1}{2}}{x}^2\mathrm{dx}\\ & =2{\left[\frac{x^2}{2}\right]}_0^1\frac{1}{2}-4{\left[\frac{x^3}{3}\right]}_0^{\frac{1}{2}}=\frac{2}{2}(\frac{1}{2^2}-0)-\frac{4}{3}(\frac{1}{2^3}-0)\\ & =\frac{1}{4}-\frac{4}{3}\cdot \frac{1}{8}=\frac{1}{4}-\frac{1}{6}=\frac{3-2}{12}=\frac{1}{12}\text{ বর্গ একক }\end{array}$

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল $\frac{1}{12}$ বর্গ একক।