সৃজনশীলঃ ‘f(x)=2×1+x2 এবং g(x)=p+qx+rx2…’ সিলেট বোর্ড ২০২২ – জটিল সংখ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\frac{2x}{1+x^2}$

$\therefore f\left(1\right)=\frac{2\cdot 1}{1+1^2}=1$

$\therefore f\left(1\right)$ এর ঘনমূল $=\sqrt[3]{f\left(1\right)}=\sqrt[3]{1}$

ধরি, $x=\sqrt[3]{1}$

বা, $x^3=1$ বা, $x^3-1^3=0$

বা, $(x-1)(x^2+x+1)=0$

হয়, $x-1=0$ অথবা, $x^2+x+1=0$

বা, $x=1$ বা, $x=\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot 1.1}}{2.1}=\frac{-1\pm \sqrt{-3}}{2}$

$\therefore f\left(1\right)$ এর ঘনমূলগুলো $1;\frac{-1+\sqrt{-3}}{2},\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}$.

দেওয়া আরে, $g\left(x\right)=p+qx+r{x}^2$

$\therefore g\left(\omega \right)=p+p\omega +r{\omega }^2$

$g\left({\omega }^2\right)=p+q{\omega }^2+r{\omega }^4=p+q{\omega }^2+r\omega$

এবং $p+q+r=0$

বামপক্ষ $=\left\{g\right(\omega ){\}}^2+{\left\{g\left({\omega }^2\right)\right\}}^2$

$={(p+q\omega +r{\omega }^2)}^2+{(p+q{\omega }^2+r\omega )}^2$

$=p^2+q^2{\omega }^2+r^2{\omega }^4+2pq\omega +2qr{\omega }^3+2rp{\omega }^2+p^2+q^2{\omega }^4+r^2{\omega }^2+2pq{\omega }^2+2qr{\omega }^3+2rp\omega$

$=p^2+q^2{\omega }^2+r^2\omega +2\mathrm{pq}\omega +2\mathrm{qr}+2\mathrm{rp}{\omega }^2+p^2+q^2\left(t\right)+r^2{\omega }^2+2\mathrm{pq}({\omega }^2+2\mathrm{qr}+2\mathrm{rp}\omega [\because {\omega }^3=1]$

$=2p^2+q^2({\omega }^2+\omega )+r^2(\omega +{\omega }^2)+2pq(\omega +{\omega }^2)+4qr+2rp({\omega }^2+\omega )$

$=2p^2-q^2-r^2-2\mathrm{pq}+4\mathrm{qr}-2\mathrm{rp}[\because 1+\omega +{\omega }^2=0]$

$=2p^2-(q^2+r^2)+4\mathrm{qr}-2p(q+r)$

$=2p^2-\left\{\right(q+r{)}^2-2\mathrm{qr}\}+4\mathrm{qr}-2p(-p)[\because p+q+r=0]$

$=2p^2-\left\{\right(-p{)}^2-2\mathrm{qr}\}+4\mathrm{qr}+2p^2$

$=2p^2-p^2+2\mathrm{qr}+4\mathrm{qr}+2p^2$

$=3p^2+6qr=3(p^2+2qr)=$ ডানপক্ষ

$\therefore \left\{g\right(\omega ){\}}^2+{\left\{g\left({\omega }^2\right)\right\}}^2=3(p^2+2qr)$ (প্রমাণিত)