সৃজনশীলঃ ‘f(x)=2×1+x2,g(y)=1−y21+y2 এবং h(x)=sin⁡x.…’ কুমিল্লা ক্যাডেট কলেজ ২০২৬ – বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\frac{2x}{1+x^2}$ এবং $g\left(y\right)=\frac{1-y^2}{1+y^2}$

$\therefore f\left(a\right)=\frac{2a}{1+a^2}\therefore g\left(b\right)=\frac{1-b^2}{1+b^2}$

এখানে, ${\mathrm{cosec}}^{-1}\frac{1}{f\left(a\right)}-{\sec }^{-1}\frac{1}{g\left(b\right)}=2{\tan }^{-1}x$

বা, ${\sin }^{-1}f\left(a\right)-{\cos }^{-1}g\left(b\right)=2{\tan }^{-1}x$

বা, ${\sin }^{-1}\frac{2a}{1+a^2}-{\cos }^{-1}\frac{1-b^2}{1+b^2}=2{\tan }^{-1}x$

বা, $2{\tan }^{-1}a-2{\tan }^{-1}b=2{\tan }^{-1}x$

বা, ${\tan }^{-1}a-{\tan }^{-1}b={\tan }^{-1}x$

বা, ${\tan }^{-1}\frac{a-b}{1+ab}={\tan }^{-1}x$

$\therefore x=\frac{a-b}{1+ab}$. (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $h\left(x\right)=\sin x$ এবং $2h\left(\theta \right)\cdot h\left(3\theta \right)=$$1;0\le \theta \le 2\pi$

বা, $2\sin \theta \cdot \sin 3\theta =1$

বা, $\cos (3\theta -\theta )-\cos (3\theta +\theta )=1$

বা, $\cos 2\theta -\cos 4\theta =1$

বা, $\cos 2\theta =1+\cos 4\theta$

বা, $\cos 2\theta =2{\cos }^{2}2\theta$

বা, $2{\cos }^{2}2\theta -\cos 2\theta =0$

বা, $\cos 2\theta (2\cos 2\theta -1)=0$

হয়, $\cos 2\theta =0$

বা, $2\theta =(2n+1)\frac{\pi }{2}$

বা, $\theta =(2n+1)\frac{\pi }{4}$

অথবা, $2\cos 2\theta -1=0$

বা, $\cos 2\theta =\frac{1}{2}$

বা, $\cos 2\theta =\cos \frac{\pi }{3}$

বা, $2\theta =2n\pi \pm \frac{\pi }{3}$

বা, $\theta =n\pi \pm \frac{\pi }{6},n\in Z$

$n=0$ হলে, $\theta =\frac{\pi }{4},\pm \frac{\pi }{6}$

$n=1$ হলে, $\theta =\frac{3\pi }{4},\frac{7\pi }{6},\frac{5\pi }{6}$

$n=2$ হলে $\theta =\frac{5\pi }{4},\frac{13\pi }{6},\frac{11\pi }{6}$

$n=3$ হলে, $\theta =\frac{7\pi }{4},\frac{19\pi }{6},\frac{17\pi }{6}$

$0\le \theta \le 2\pi$ ব্যবধিতে নির্ণেয় সমাধান :

$\theta =\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{6},\frac{3\pi }{4},\frac{7\pi }{6},\frac{5\pi }{6},\frac{5\pi }{4},\frac{11\pi }{6},\frac{7\pi }{4}$