সৃজনশীলঃ ‘f(x)=2x−33x+5 ও g(x)=3x−7…’ – ফাংশন ও ফাংশনের লেখচিত্র, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\frac{2x-3}{3x+5}$

$f\left(x\right)$ অসংজ্ঞায়িত  হবে যদি $3x+5=0$ হয় বা, $x=-\frac{5}{3}$

অর্থাৎ, $x=-\frac{5}{3}$ হলে $f\left(x\right)$ অসংজ্ঞায়িত হবে।
$\therefore f\left(x\right)$ এর ডোমেন $=R-\{-\frac{5}{3}\}$

ধরি, $y=f\left(x\right)=\frac{2x-3}{3x+5}$
এখন, $y=\frac{2x-3}{3x+5}$
বা, $3xy+5y=2x-3$
বা, $2x-3xy=3+5y$
বা, $x(2-3y)=3+5y$
বা, $x=\frac{3+5y}{2-3y}$
বা, $f^{-1}\left(y\right)=\frac{5y+3}{2-3y}[\because f(x)=y$ বা, $x=f^{-1}\left(y\right)]$
$\therefore f^{-1}\left(x\right)=\frac{5x+3}{2-3x}$

f^-1(x) এর রেঞ্জ নির্ণয় :

ধরি, $p=f^{-1}\left(x\right)=\frac{5x+3}{2-3x}$ बVन, $p=\frac{5x+3}{2-3x}$
বা, $2p-3\mathrm{xp}=5x+3$
বা, $3xp+5x=2p-3$
বা, $x(3p+5)=2p-3$
$\therefore x=\frac{2p-3}{3p+5}$

$x=\frac{2p-3}{3p+5}\notin R$ হবে যদি ও কেবল যদি, 3p + 5 = 0 হয়

বা, 3p=-5

$\therefore p=-\frac{5}{3}$

$\therefore f^{-1}\left(x\right)$ এর রেঞ্জ $=R-\{-\frac{5}{3}\}$

∴ f(x) এর ডোমেন f^-1(x) এর রেঞ্জের সমান। (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, g(x) = 3x-7

$\begin{array}{cc}\overrightarrow{M}& =g\left(3\right)\hat{i}+3g\left(2\right)\hat{j}-g\left(1\right)\hat{k}\\ & =(3.3-7)\hat{i}+3(3.2-7)\hat{j}-(3.1-7)\hat{k}\\ & =(9-7)\hat{i}+3(6-7)\hat{j}-(3-7)\hat{k}=2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}\\ \overrightarrow{N}& =g\left(4\right)\hat{i}-g\left(1\right)\hat{j}-2g\left(2\right)\hat{k}\\ & =(3.4-7)\hat{i}-(3.1-7)\hat{j}-2(3.2-7)\hat{k}\\ & =(12-7)\hat{i}-(3-7)\hat{j}-2(6-7)\hat{k}=5\hat{i}+4\hat{j}+2\hat{k}\end{array}$

এখন, 

$\begin{array}{cc}& \overrightarrow{M}\times \overrightarrow{N}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ 2& -3& 4\\ 5& 4& 2\end{array}\right|=\hat{i}(-6-16)-\hat{j}(4-20)+\hat{k}(8+15)\\ & =-22\hat{i}+16\hat{j}+23\hat{k}\\ & |\overrightarrow{M}\times \overrightarrow{N}|=\sqrt{(-22{)}^2+(16{)}^2+(23{)}^2}=\sqrt{1269}=3\sqrt{141}\end{array}$

∴ $\overrightarrow{M}$ ও $\overrightarrow{N}$ দ্বারা গঠিত সমতলের উপর লম্ব একক ভেক্টর

$=\pm \frac{\overrightarrow{M}\times \overrightarrow{N}}{|\overrightarrow{M}\times \overrightarrow{N}|}=\pm \frac{1}{3\sqrt{141}}(-22\hat{i}+16\hat{j}+23\hat{k})$