সৃজনশীলঃ ‘f(x)=3+x2 এবং g(p)=1−12p…’ ঢাকা বোর্ড ২০১৯ – দ্বিপদী বিস্তৃতি, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=3+\frac{x}{2}$

$\therefore \left\{f\right(x){\}}^n={(3+\frac{x}{2})}^n$

$\therefore (r+1)$ - তম পদ $={}^n{C}_r{3}^{n-r}{\left(\frac{x}{2}\right)}^r$.

$r=7$ ও 8 হলে $x^7$ ও $x^8$ এর সহগ পাওয়া যাবে।

$\therefore x^7$ এর সহগ $={}^n{C}_7{3}^{n-7}{\left(\frac{1}{2}\right)}^7$

এবং $x^8$ এর সহগ $={}^n{C}_8{3}^{n-8}\left(\frac{1}{2}\right)$

শর্তমতে, ${}^n{C}_7{3}^{n-7}{\left(\frac{1}{2}\right)}^7={}^n{C}_8{3}^{n-8}{\left(\frac{1}{2}\right)}^8$

বা, $\frac{n!}{7!(n-7)!}\frac{3^n}{3^7\cdot 2^7}=\frac{n}{8!(n-8)!}\frac{3^n}{3^8}\cdot \frac{1}{2^8}$

বা, $\frac{1}{7!(n-7)(n-8)!}=\frac{1}{7!(n-8)!\cdot 3.2}$

বা, $\frac{1}{n-7}=\frac{1}{48}$

বা, $n-7=48$

বা, $n=48+7=55$

$\therefore n=55$

নির্ণেয় মান : $n=55$.

দেওয়া আছে, $g\left(p\right)=1-\frac{1}{2}p$

$\therefore \left\{g\right(4x){\}}^{\frac{-1}{2}}={(1-\frac{1}{2}4x)}^{\frac{-1}{2}}$

$=(1-2x{)}^{\frac{-1}{2}}$

$\therefore (n+1)$ তম পদ

$=\frac{\frac{-1}{2}(\frac{-1}{2}-1)(\frac{-1}{2}-2)\dots \cdot \{\frac{-1}{2}-n+1\}}{n!}(-2x{)}^n$

$=\frac{\frac{-1}{2}\left(\frac{-3}{2}\right)\left(\frac{-5}{2}\right)\dots \cdot (-n+\frac{1}{2})}{n!}(-2x{)}^n$

$=\frac{\frac{-1}{2}\left(\frac{-3}{2}\right)\left(\frac{-5}{2}\right)\dots \cdot \left\{\frac{-(2n-1)}{2}\right\}}{n!}(-2x{)}^n$

$={\left(\frac{-1}{2}\right)}^n\frac{1\cdot 3\cdot 5\dots \dots (2n-1)}{n!}(-2x{)}^n$

$=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\dots (2n-1)\left(2n\right)}{n!\{2\cdot 4\cdot 6\dots (2n\left)\right\}}{\left\{\left(\frac{-1}{2}\right)\right(-2x\left)\right\}}^n$

$=\frac{\left(2n\right)!}{n!\cdot 2^n(1\cdot 2\cdot 3\dots \dots n)}{x}^n$

$=\frac{\left(2n\right)!}{n!\cdot 2^n\cdot n!}\cdot x^n=\frac{\left(2n\right)!}{(n!{)}^2\cdot 2^n}\cdot x^n$

$(n+1)$ তম পদের সহগ $=\frac{\left(2n\right)!}{(n!{)}^2\cdot 2^n}\cdot$ (দেখানো হলো)