সৃজনশীলঃ ‘f(x)=3×2−4x+1 এবং P(x)=x3−7×2+8x+10…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২৩ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$f\left(x\right)=0$

$\Rightarrow 3x^2-4x+1=0$

সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha ,\beta$ হলে,

$\alpha +\beta =\frac{4}{3}$

$\alpha \beta =\frac{1}{3}$

$\therefore \alpha -\beta =\sqrt{(\alpha +\beta {)}^2-4\alpha \beta }$

$=\sqrt{\frac{16}{9}-\frac{4}{3}}$

$=\sqrt{\frac{16-12}{9}}$

$=\sqrt{\frac{4}{9}}$

$=\frac{2}{3}$

$\therefore {\alpha }^2+{\beta }^2=(\alpha +\beta {)}^2-2\alpha \beta$

$={\left(\frac{4}{3}\right)}^2-2\cdot \frac{1}{3}$

$=\frac{16}{9}-\frac{2}{3}$

$=\frac{16-6}{9}$

$=\frac{10}{9}.$

$\therefore |\alpha -\beta |$ এবং ${\alpha }^2+{\beta }^2$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ :

$x^2-(\frac{2}{3}+\frac{10}{9})x+\frac{2}{3}\cdot \frac{10}{9}=0$

$\Rightarrow x^2-\frac{16}{9}x+\frac{20}{27}=0$

$\Rightarrow 27x^2-48x+20=0$

ইহাই নির্ণেয় সমীকরণ।

দেওয়া আছে,

$P\left(x\right)=0$

$\Rightarrow x^3-7x^2+8x+10=0$

সমীকরণের একটি মূল 5

ধরি, অপর মূলদ্বয় $\alpha ,\beta$

তাহলে, $\alpha +\beta +5=7$

$\Rightarrow \alpha +\beta =2......\left(i\right)$

এবং $\alpha \cdot \beta \cdot 5=-10$

$\Rightarrow \alpha \beta =-2$

$\therefore \alpha -\beta =\sqrt{(\alpha +\beta {)}^2-4\alpha \beta }$

$=\sqrt{2^2-4(-2)}$

$=\sqrt{4+8}$

$=\sqrt{12}$

$\therefore \alpha -\beta =2\sqrt{3}.......\left(ii\right)$.

$\underset{―}{\left(i\right)+\left(\mathrm{ii}\right)}$

$2\alpha =2+2\sqrt{3}$

$\therefore \alpha =1+\sqrt{3}$

(i) - (ii)

$2\beta =2-2\sqrt{3}$

$\therefore \beta =1-\sqrt{3}$

নির্ণেয় অপর মূলদ্বয় : 5, $1+\sqrt{3}$ ও $1-\sqrt{3}$