সৃজনশীলঃ ‘f(x)=3×3−6×2−5x+2g(x,y)=x2+y2−4x−6y−7.…’ বরিশাল বোর্ড ২০২৩ – সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=3x^3-6x^2-5x+2$

$x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, $f^{\prime }\left(x\right)=9x^2-12x-5$

আবার $x$ এর সাপেক্ষে অন্তুরীকরণ করে পাই, $f^{\prime \prime }\left(x\right)=18x-12$

সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মানের জন্য,

$f^{\prime }\left(x\right)=0$

বা, $9x^2-12x-5=0$

বা, $9x^2-15x+3x-5=0$

বা, $9x^2-15x+3x-5=0$

বা, $3x(3x-5)+1(3x-5)=0$

বা, $(3x-5)(3x+1)=0$

বা, $x=\frac{5}{3},\frac{-1}{3}$

$x=\frac{5}{3}$ হলে, $f^{\prime \prime }\left(x\right)=18\cdot \frac{5}{3}-12=30-12=18>0$

$\therefore x=\frac{5}{3}$ এর জন্য $f\left(x\right)$ এর মান সর্বনিম্ন

$x=\frac{-1}{3}$ হলে,

$f^{\prime \prime }\left(x\right)=18\cdot \left(\frac{-1}{3}\right)-12=-6-12=-18<0$

$\therefore x=\frac{-1}{3}$ এর জন্য $f\left(x\right)$ এর মান সর্বোচ্চ।

নির্ণয় মান : $\frac{-1}{3}$.

দেওয়া আছে, $g(x,y)=x^2+y^2-4x-6y-7$

এখানে, $g(x,y)=0$

বা, $x^2+y^2-4x-6y-7=0$

$x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

$2x+2y\frac{dy}{dx}-4-6\frac{dy}{dx}-0=0$

বা, $(2y-6)\frac{dy}{dx}=4-2x$

বা, $2(y-3)\frac{dy}{dx}=2(2-x)$

বা, $(y-3)\frac{dy}{dx}=2-x$

$\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{2-x}{y-3}$

$(-2,5)$ বিন্দুতে $\frac{dy}{dx}={\left(\frac{dy}{dx}\right)}_{(-2,5)}=\frac{2-(-2)}{5-3}=\frac{4}{2}=2$

$\therefore (-2,5)$ বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,

$y-y_1={\left(\frac{dy}{dx}\right)}_{(-2,5)}(x-x_1)$

বা, $y-5=2\{x-(-2\left)\right\}$

বা, $y-5=2(x+2)$

বা, $y-5=2x+4$

$\therefore 2x-y+9=0$

নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ, $2x-y+9=0$.