সৃজনশীলঃ ‘f(x)=a5x,g(x)=x2a+y2a−1.…’ যশোর বোর্ড ২০২৩ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=a^{5x}$

$f(x+h)=a^{5(x+h)}$

অন্তরজের মূল নিয়ম অনুযায়ী,

$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{d}{dx}f\left(x\right)$

$={\mathrm{Lt}}_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}$

$={\mathrm{Lt}}_{h\to 0}\frac{a^{5(x+h)}-a^{5x}}{h}$

$={\mathrm{Lt}}_{h\to 0}\frac{a^{5x}(a^{5h}-1)}{h}$

$=a^{5x}{\mathrm{Lt}}_{h\to 0}\frac{\{1+5h\ln a+\frac{(5h\ln a{)}^2}{2!}+\frac{(5h\ln a{)}^3}{3!}+\dots \dots \}-1}{h}$

$=a^{5x}{\mathrm{Lt}}_{h\to 0}\frac{h\{5\ln a+\frac{h(5\ln a{)}^2}{2!}+\frac{h^2(5\ln a{)}^3}{3!}+\dots \dots \}}{h}$

$=a^{5x}\underset{h\to 0}{\mathrm{Lt}}[5\ln a+\frac{h(5\ln a{)}^2}{2!}+\frac{h^2(5\ln a{)}^3}{3!}+\dots \dots ]$

$=a^{5x}[5\ln a+0+0+$

$=5a^{5x}\ln a$

নির্ণেয় অন্তরজ : $5a^{5x}\ln$ a.

দেওয়া আছে, $g\left(x\right)=\sqrt{\frac{x}{2a}}+\sqrt{\frac{y}{2a}}-1$

আবার, বক্ররেখার সমীকরণ, $g\left(x\right)=0$

বা, $\sqrt{\frac{x}{2a}}+\sqrt{\frac{y}{2a}}-1=0$

বা, $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2a}}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{2a}}=1$

বা, $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{2a}$ ...... (i)

(1) নং কে $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

$\frac{d}{dx}(\sqrt{x}+\sqrt{y})=\frac{d}{dx}\left(\sqrt{2a}\right)$

বা, $\frac{d}{dx}\left(x^{\frac{1}{2}}\right)+\frac{d}{dx}\left(y^{\frac{1}{2}}\right)=0$

বা, $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}{y}^{\frac{1}{2}-1}\frac{dy}{dx}=0$

বা, $\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\frac{dy}{dx}=0$

বা, $\frac{1}{\sqrt{y}}\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{x}}$

$\frac{dy}{dx}=-\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$

মরে করি, যেকোনো স্পর্শবিন্দু $(x_1,y_1)$

$\therefore (x_1,y_1)$ বিন্দুতে $\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=-\frac{\sqrt{y_1}}{\sqrt{x_1}}$

এব: $(x_1,y_1)$ বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,

$y-y_1=\frac{dy}{dx}(x-x_1)=-\frac{\sqrt{y_1}}{\sqrt{x_1}}(x-x_1)$

বা, $\sqrt{x_1}y-\sqrt{x_1}{y}_1=-\sqrt{y_1}x+x_1\sqrt{y_1}$

বা, $\sqrt{x_1}y+x\sqrt{y_1}=\sqrt{x_1}{y}_1+x_1\sqrt{y_1}$

বা, $\frac{x}{\sqrt{x_1}}+\frac{y}{\sqrt{y_1}}=\sqrt{x_1}+\sqrt{y_1}$ ........ (ii)

[উভয়পক্ষকে $\sqrt{x_1}\sqrt{y_1}$ দ্বারা ভাগ করে]

$(x_1,y_1)$ বিন্দুটি (i) নং বক্ররেখার উপর অবস্থিত হওয়ায়,

$\sqrt{x_1}+\sqrt{y_1}=\sqrt{2a}$ .......... (iii)

$\therefore$ (ii) নং সমীকরণ হতে পাই,

$\frac{x}{\sqrt{x_1}}+\frac{y}{\sqrt{y_1}}=\sqrt{2a}\dots \dots \left(iv\right)\left[\right(iii)$ নং ব্যবহার করে]

এখন, (iv) নং স্পর্শকের সমীকরণে,

$y=0$ হলে, $x$ অক্ষ হতে স্পর্শকটির খণ্ডিতাংশ, $x=\sqrt{x_1}\sqrt{2a}$

$x=0$ হলে, $y$ অক্ষ হতে স্পর্শকটির খণ্ডিতাংশ, $y=\sqrt{y_1}\sqrt{2a}$

$\therefore$ স্পর্শক দ্বারা অক্ষদ্বয়ের খণ্ডিতাংশের যোগফল

$=\sqrt{2a}\sqrt{x_1}+\sqrt{2a}\sqrt{y_1}$

$=\sqrt{2a}(\sqrt{x_1}+\sqrt{y_1})$

$=\sqrt{2a}\times \sqrt{2a}$

$=(\sqrt{2a}{)}^2=2a;$ যা ধ্রুবক।

অর্থাৎ অক্ষদ্বয়ের খণ্ডিতাংশের যোগফল একটি ধ্রুবক। (প্রমাণিত)