সৃজনশীলঃ ‘f(x) = ax2…’ ঢাকা রেসিডেনসিয়াল মডেল কলেজ ২০২৪ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$

$\therefore a{x}^2+bx+c=0$

সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha ,\beta$

$\alpha +\beta =\frac{-b}{a}$

$\alpha \beta =\frac{c}{a}$

এখন,

$a{\alpha }^2+b\alpha +c=0$

বা, $\alpha (a\alpha +b)=-c$

বা, $a\alpha +b=\frac{-c}{\alpha }$

একইভাবে, $a\beta +b=-\frac{c}{\beta }$

বামপক্ষ $=(a\alpha +b{)}^{-3}+(a\beta +b{)}^{-3}$

$={(-\frac{c}{\alpha })}^{-3}+{(-\frac{c}{\beta })}^{-3}$

$=-(\frac{{\alpha }^3}{{\beta }^3}+\frac{{\beta }^3}{c^3})$

$=-\frac{{\alpha }^3+{\beta }^3}{e^3}$

$=-\frac{(\alpha +\beta {)}^3-3\alpha \beta (\alpha +\beta )}{c^3}$

$=-\frac{(-b/a{)}^3-3c/a(-b/a)}{c^3}$

$=\frac{\frac{b^3}{a^3}-\frac{3bc}{a^2}}{c^3}$

$=\frac{b^3-3abc}{a^3{c}^3}$

= ডানপক্ষ (দেখানো হলো)

f(x) = 0

বা, $a{x}^2+bx+c=0.......\left(i\right)$

$g\left(x\right)=0$

বা, $c{x}^2+bx+a=0..........\left(ii\right)$

মনেকরি, (ii) নং সমীকরণের একটি মূল $\alpha$

শর্তানুযায়ী, (i) নং সমীকরণের একটি মূল $2\alpha$

$c{\alpha }^2+b\alpha +a=0.......iii$

$4a{\alpha }^2+2b\alpha +c=0.......iv$

(iii) ও (iv) নং হতে,

$\frac{{\alpha }^2}{bc-2ab}=\frac{\alpha }{4a^2-c^2}=\frac{1}{2bc-4ab}$

$\frac{{\alpha }^2}{bc-2ab}=\frac{\alpha }{4a^2-c^2}$

বা, $\alpha =\frac{bc-2ab}{4a^2-c^2}$

আবার, $\frac{\alpha }{4a^2-c^2}=\frac{1}{2bc-4ab}$

$\therefore \alpha =\frac{4a^2-c^2}{2bc-4ab}$

 সুতরাং, $\frac{bc-2ab}{4a^2-c^2}=\frac{4a^2-c^2}{2bc-4ab}$

বা, $(bc-2ab)(2bc-4ab)={(4a^2-c^2)}^{-m}$

বা, $2b^2(c-2a{)}^2=(c-2a{)}^2(c+2a{)}^2$

বা, $2b^2(c-2a{)}^2-(c-2a{)}^2(c+2a{)}^2=0$

বা, $(c-2a{)}^2\{2b^2-(2a+c{)}^2\}=0$

$\therefore (c-2a{)}^m=0$

বা, $c-2a=0$

$\therefore 2a=c$

$\therefore 2b^2-(2a+c{)}^2=0$

বা, $(2a+c{)}^2=2b^2$

(প্রমাণিত)