সৃজনশীলঃ ‘f(x)=ax2+bx+c…’ কুমিল্লা ভিক্টোরিয়া সরকারি কলেজ ২০২৬ – দ্বিপদী বিস্তৃতি, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)={\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+c$

$\therefore a=1,b=-3$ এবং $c=2$ হলে,
$\frac{3x+2}{f\left(x\right)}=\frac{3x+2}{x^2-3x+2}$
$=\frac{3x+2}{x^2-2x-x+2}$
$=\frac{3x+2}{x(x-2)-1(x-2)}=\frac{3x+2}{(x-1)(x-2)}$
আংশিকভগ্নাংশেপ্রকাশকরে$=\frac{8}{x-2}-\frac{5}{x-1}[\text{ আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করে] }$
$=\frac{5}{1-x}+\frac{8}{-2(1-\frac{x}{2})}$

$=\frac{5}{1-x}-\frac{4}{1-\frac{x}{2}}$
$=5(1-x{)}^{-1}-4{(1-\frac{x}{2})}^{-1}$
$=5(1+x+x^2+\dots \dots +x^n+\dots ..)-4$
$\{1-\frac{x}{2}+{\left(\frac{x}{2}\right)}^2+\dots ..+{\left(\frac{x}{2}\right)}^n+\dots ..\}$
$\therefore x^n$ এর সহগ $=5-4{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$
$=5-\frac{2^2}{2^n}=5-2^{2-n}$

নির্ণেয় $x^5$ এর সহগ $=5-2^{2-n}$

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)={\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+c$
এবং $f\left(x\right)=0$ বা, ${\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+c=0$

সমীকরণটির মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$ হলে,
এবং$\therefore \alpha +\beta =-\frac{b}{a}\text{ এবং }\alpha \beta =\frac{c}{a}$

এখানে, $ac(x^2+1)-(b^2-2ac)x=0$
বা, $\frac{c}{a}(x^2+1)+(2\cdot \frac{c}{a}-\frac{b^2}{a^2})x=0\cdot [a^2$ দ্বারা ভাগ করে $]$
বা, $\alpha \beta (x^2+1)+\{2\alpha \beta -(\alpha +\beta {)}^2\}x=0$
বা, $\alpha \beta (x^2+1)-\left\{\right(\alpha +\beta {)}^2-2\alpha \beta \}x=0$
বা, $\alpha \beta (x^2+1)-\{({\alpha }^2+{\beta }^2)x=0$
বা, $\alpha \beta x^2+\alpha \beta -{\alpha }^{2}x-{\beta }^{2}x=0$ বা, $\alpha \beta x^2-{\alpha }^{2}x-{\beta }^{2}x+\alpha \beta =0$
বা, $\alpha x(\beta x-\alpha )-\beta (\beta x-\alpha )=0$ বা, $(\beta x-\alpha )(\alpha x-\beta )=0$

$\therefore$ হয় $\beta x-\alpha =0$
বা, $\beta x-\alpha$
$\therefore x=\frac{\alpha }{\beta }$

অথবা, $\alpha x-\beta =0$
বা, $\alpha x=\beta$
$\therefore x=\frac{\beta }{\alpha }$

∴ সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha ,\beta$ এর মাধ্যমে প্রকাশ করা হলো। নির্ণেয় মূলদ্বয় : $\frac{\alpha }{\beta },\frac{\beta }{\alpha }$.