সৃজনশীলঃ ‘f(x)=ax2+bx+c এবং g(x)=x2−px+q.…’ যশোর বোর্ড ২০২২ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

এখানে, $f\left(x\right)=\mathrm{ax}{x}^2+\mathrm{bx}+c$ এবং $f\left(x\right)=0$

অর্থাৎ $a{x}^2+bx+c=0......\left(i\right)$

ধরি. সমীকরণ (1) এর মূলদ্বয় $\alpha$ ও $r\alpha$

শর্তমতে $\alpha +r\alpha$

বা, $\alpha (r+1)=-\frac{b}{a}$

বা, ${\alpha }^2(r+1{)}^2=\frac{b^2}{a^2}$ [বর্গ করে]

বা,${\alpha }^2=\frac{b^2}{a^2(r+1{)}^2}...........\left(ii\right)$.

আবার, $\alpha \cdot r\alpha =\frac{c}{a}$

বা,$r{\alpha }^2=\frac{c}{a}$

বা, $r\cdot \frac{b^2}{a^2(r+1{)}^2}=\frac{c}{a}\left[\right(2)$ হতে ${\alpha }^2$ এর মান বসিয়ে $]$

বা,$\frac{(r+1{)}^2}{r}=\frac{b^2}{a^2}\times \frac{a}{c}$

$\therefore \frac{(r+1{)}^2}{r}=\frac{b^2}{\mathrm{ac}}$ (দেখানো হলো) 

দেওয়া আছে; $g\left(x\right)=x^2-px+q$

এবং $g\left(x\right)=0$ অর্থাৎ $x^2-px+q=0.....\left(i\right)$

সমীকরণ (1) এর মূলদ্বয় $\alpha ,\beta$ হলে, $\alpha +\beta =-\frac{-p}{1}=p$ এবং $\alpha \beta =\frac{q}{1}=q$ এখন, $\frac{q}{p-\alpha }$ এবং $\frac{q}{p-\beta }$

মূলদ্বয়বিশিষ্ট সমীকরণ,

$x^2-(\frac{q}{p-\alpha }+\frac{q}{p-\beta })x+\frac{q}{p-\alpha }\cdot \frac{q}{p-\beta }=0$

বা,$x^2-q(\frac{1}{p-\alpha }+\frac{1}{p-\beta })x+\frac{q^2}{(p-\alpha )(p-\beta )}=0$

বা,$x^2-q\cdot \frac{p-\alpha +p-\beta }{(p-\alpha )(p-\beta )}x+\frac{q^2}{p^2-(\alpha +\beta )p+\alpha \beta }=0$

বা,$x^2-q\frac{2p-(\alpha +\beta )}{p^2-(\alpha +\beta )p+\alpha \beta }x+\frac{q^2}{p^2-p\cdot p+q}=0$

বা,$x^2-q\cdot \frac{2p-p}{p^2-p^2+q}x+\frac{q^2}{p^2-p^2+q}=0$

বা,$x^2-\frac{pq}{q}x+\frac{q^2}{q}=0$

$\therefore x^2-\mathrm{px}+q=0$

নির্ণেয় সমীকরণ $x^2-px+q=0$.