সৃজনশীলঃ ‘f(x)=ax2+bx+c এবং P(x)=x3−5×2+17x−13…’ ২০২৫ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$

আবার, $f\left(x\right)=0$ 

$\therefore a{x}^2+bx+c=0$$.......................\left(1\right)$

অপর সমীকরণ, $c{x}^2+2bx+4a=0$

$\left(1\right)$ নং এর মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$

$\therefore \alpha +\beta =-\frac{b}{a}$ এবং $\alpha \beta =\frac{c}{a}$

$\left(2\right)$ নং সমীকরণ হতেে পাই,

$\frac{c}{a}{x}^2+2\frac{b}{a}x+4\frac{a}{a}=0$ [a দ্বারা ভাগ করে] 

বা, $\alpha \beta x^2-2(\alpha +\beta )x+4=0$
বা, $\alpha \beta x^2-2\alpha x-2\beta x+4=0$
বা, $\alpha x(\beta x-2)-2(\beta x-2)=0$
বা, $(\beta x-2)(\alpha x-2)=0$ 

$\therefore \beta x-2=0$ 

বा, $\beta x=2$ 

$\therefore x=\frac{2}{\beta }$ 

অথবা, $\alpha x-2=0$
বा. $\alpha x=2$ 

$\therefore x=\frac{2}{\alpha }$

নির্ণেয় মূলদ্বয়   $\frac{2}{\alpha }$ এবং $\frac{2}{\beta }$ 

গ. দেওয়া আছে, $p\left(x\right)=x^3-5x^2+17x-13$
আবার, $p\left(x\right)=0$

$\therefore x^3-5x^2+17x-13=0$

ধরি, সমীকরণটির মূলত্রয় $\alpha ,\beta ,\gamma$

$\begin{array}{cc}\therefore & \alpha +\beta +\gamma =-\frac{-5}{1}=5;\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =\frac{17}{1}=17\\ & \alpha \beta \gamma =-\frac{-13}{1}=13\end{array}$

প্রদত্ত রাশি  $=\Sigma {\alpha }^3\beta ={\alpha }^3\beta +{\alpha }^3\gamma +{\beta }^3\gamma +{\beta }^3\alpha +{\gamma }^3\alpha +{\gamma }^3\beta$ 

$\begin{array}{cc}& =\alpha \beta ({\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2)+\beta \gamma ({\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2)\\ & +\gamma \alpha ({\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2)-\alpha \beta {\gamma }^2-{\alpha }^2\beta \gamma -\alpha {\beta }^2\gamma \\ & =({\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2)(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )-\alpha \beta \gamma (\alpha +\beta +\gamma )\\ & =\left\{\right(\alpha +\beta +\gamma {)}^2-2(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )\}(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )\\ & -\alpha \beta \gamma (\alpha +\beta +\gamma )\\ & =(5^2-2\times 17)17-13\times 5\\ & =(25-34)\times 17-65\\ & =-153-65=-218\end{array}$ 

নির্ণেয় মান : $-218$