সৃজনশীলঃ ‘f(x)=ax2+bx+c,g(x)=cx2+bx+a এবং h(x)=1+x+3mx2+x3.…’ নটরডেম কলেজ ২০২৬ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

এখানে, $g\left(x\right)=0$

বা, ${\mathrm{cx}}^2+\mathrm{bx}+a=0$

ধরি, ${\mathrm{cx}}^2+\mathrm{bx}+a=0$ এর একটি মূল $\alpha$

$\therefore c{\alpha }^2+b\alpha +a=0$ ......... (i)

আবার, $f\left(x\right)=0$

বা, $a{x}^2+bx+c=0$

$\therefore {\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+c=0$ এর একটি মূল $3\alpha$

$\therefore 9a{\alpha }^2+3b\alpha +c=0$ ........ (ii)

(i) ও (ii) হতে বজ্রগুণনের সূত্রানুসারে,

$\frac{{\alpha }^2}{bc-3ab}=\frac{\alpha }{9a^2-c^2}=\frac{1}{3bc-9ab}$

অর্থাৎ, $\frac{{\alpha }^2}{bc-3ab}=\frac{\alpha }{9a^2-c^2}$

বা, $\alpha =\frac{bc-3ab}{9a^2-c^2}$

এবং $\frac{\alpha }{9a^2-c^2}=\frac{1}{3bc-9ab}$

বা, $\alpha =\frac{9a^2-c^2}{3bc-9ab}$

অতএব, $\frac{bc-3ab}{9a^2-c^2}=\frac{9a^2-c^2}{3bc-9ab}$

বা, ${(9a^2-c^2)}^2=(bc-3ab)(3bc-9ab)$.

বা, $\left\{\right(3a+c\left)\right(3a-c){\}}^2=b(c-3a)\cdot 3b(c-3a)$

বা, $(3a+c{)}^2(3a-c{)}^2=3b^2(c-3a{)}^2$

বা, $(3a+c{)}^2(3a-c{)}^2=3b^2(3a-c{)}^2$

বা, $(3a+c{)}^2(3a-c{)}^2-3b^2(3a-c{)}^2=0$

বা, $(3a-c{)}^2\left\{\right(3a+c{)}^2-3b^2\}=0$

হয়, $(3a-c{)}^2=0$

বা, $3a-c=0$

বা, $3a=c\therefore c=3a$

অথবা, $(3a+c{)}^2-3b^2=0$

বা, $(3a+c{)}^2=3b^2$

$\therefore 3b^2=(c+3a{)}^2$

সুতরাং, $c=3a$ অথবা $3b^2=(c+3a{)}^2$. (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $h\left(x\right)=1+x+3{\mathrm{mx}}^2+x^3$ এবং $h\left(x\right)=0$

বা, $1+x+3m{x}^2+x^3=0$

বা, $x^3+3m{x}^2+x+1=0$ ......... (i)

(i) নং এর মূলগুলো সমান্তর প্রগমনে আছে।

ধরি, মূলগুলো : $\alpha -d,\alpha ,\alpha +d$

$\therefore \alpha -d+\alpha +\alpha +d=-3m$

বা, $3\alpha =-3m$ বা, $\alpha =-m$. ............ (ii)

আবার, $(\alpha -d)\alpha \cdot (\alpha +d)=-1$

বা, $({\alpha }^2-d^2)\alpha =-1$

বা, ${\alpha }^3-\alpha d^2=-1$ ......... (iii)

আবার, $(\alpha -d)\cdot \alpha +\alpha (\alpha +d)+{\alpha }^2-d^2=1$

বা, ${\alpha }^2-\alpha d+{\alpha }^2+\alpha d+{\alpha }^2-d^2=1$

বা, $3{\alpha }^2-d^2=1$ বা, $2{\alpha }^2+({\alpha }^2-d^2)=1$

বা, $2{\alpha }^2+\frac{-1}{\alpha }=1$ বা, $2{\alpha }^3-1=\alpha$

বা, $2{\alpha }^3-\alpha -1=0$

বা, $2{\alpha }^3-2{\alpha }^2+2{\alpha }^2-2\alpha +\alpha -1=0$

বা, $2{\alpha }^2(\alpha -1)+2\alpha (\alpha -1)+1(\alpha -1)=0$

বা, $(\alpha -1)(2{\alpha }^2+2\alpha +1)=0$

হয়, $\alpha -1=0$

বা, $\alpha =1$

অথবা, $2{\alpha }^2+2\alpha +1=0$

বা, $\alpha =\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4.2.1}}{2.2}$

বা, $\alpha =\frac{-2\pm \sqrt{-4}}{4}=\frac{-2\pm 2i}{4}=\frac{2(-1\pm i)}{4}=\frac{-1\pm i}{2}$

বা, $\alpha =\frac{-1}{2}\pm \frac{1}{2}$, যা গ্রহণযোগ্য নয় কারণ m এর মান বাস্তব সংখ্যা।

$\therefore \alpha =1$

(i) নং হতে, $m=-1$

$\therefore m=-1$ হলে সমীকরণটির মূলগুলো সমান্তর প্রগমনে থাকবে।

(ii)নং হতে পাই,

$1^3-1\cdot d^2=-1$

বা, $d^2=2$

$\therefore d=\sqrt{2}$

∴ সমীকরণটির মূলগুলো হলো $1-\sqrt{2},1,1+\sqrt{2}$.