সৃজনশীলঃ ‘f(x)=ax2+bx+c…’ ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২৫ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)={\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+c$

এবং $f\left(x\right)=0$

বা, $a{x}^2+bx+c=0$ ....... (1)

(1) নং সমীকরণ এর মূলদ্ধয় $\alpha ,\beta$ হলে, $\alpha +\beta =-\frac{b}{a}$

এবং $\alpha \beta =\frac{c}{a}$

এখন, $9c{x}^2-6bx+4a=0$

বা, $9÷\frac{c}{a}\cdot x^2-6\cdot \frac{b}{a}x+4\cdot \frac{a}{a}=\frac{0}{a}$ [ a দ্বারা ভাগ করে]

বা, $9\alpha \beta x^2+6(\alpha +\beta )x+4=0$

বা, $9\alpha \beta x^2+6\alpha x+6\beta x+4=0$

বা, $3\alpha x(3\beta x+2)+2(3\beta x+2)=0$

বা, $(3\beta x+2)(3\alpha x+2)=0$

হয়, $3\beta x+2=0$

বা, $3\beta x=-2$

$\therefore x=-\frac{2}{3\beta }$

অথবা, $3\alpha x+2=0$

বা, $3\alpha x=-2$

$\therefore x=-\frac{2}{3\alpha }$

সমীকরণটির মূলদ্বয় : $-\frac{2}{3\beta },-\frac{2}{3\alpha }$.

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)={\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+c$

$\therefore f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{a}{x^2}+\frac{b}{x}+c$

আবার, $f\left(x\right)=0$

বা, $a{x}^2+bx+c=0$ ...... (1)

$f\left(\frac{1}{x}\right)=0$

বা, $\frac{a}{x^2}+\frac{b}{x}+c=0$

বা, $\frac{a+bx+c{x}^2}{x^2}=0$

$\therefore c{x}^2+bx+a=0$ ..... (2)

ধরি, (1) ও (2) নং সমীকরণের একটি সাধারণ মূল $\alpha$ হলে,

$a{\alpha }^2+b\alpha +c=0\dots \dots \dots \dots ..\left(1\right)$

এবং $c{\alpha }^2+b\alpha +a=0\dots \dots \dots \dots .\left(2\right)$

(3) নং ও (4) নং হতে বজ্রগুণন করে পাই,

$\frac{{\alpha }^2}{ab-bc}=\frac{\alpha }{c^2-a^2}=\frac{1}{ab-bc}$

$\therefore \frac{{\alpha }^2}{ab-bc}=\frac{1}{ab-bc}$

$\therefore {\alpha }^2=\frac{ab-bc}{ab-bc}=1$

এবং $\frac{\alpha }{c^2-a^2}=\frac{1}{ab-bc}$

বা, $c^2-a^2=\alpha (ab-bc)$

বা, ${(c^2-a^2)}^2={\alpha }^2(ab-bc{)}^2$

বা, $(c+a{)}^2(c-a{)}^2=1.\{-b(c-a){\}}^2$

বা, $(c+a{)}^2(c-a{)}^2=b^2(c-a{)}^2$

বা, $(c+a{)}^2=b^2$

$\therefore c+a=\pm b$. (দেখানো হলো)