সৃজনশীলঃ ‘f(x)=ax2+bx+c…’ রাজশাহী ক্যাডেট কলেজ ২০২৬ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)={\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+c$

আবার, $f\left(x\right)=0$

বা, ${\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+c=0$

ধরি, সমীকরণটির দুইটি মূল $\alpha$ ও ${\alpha }^2$

$\therefore \alpha +{\alpha }^2=-\frac{b}{a}$ .......... (1)

${\alpha }^3=\frac{c}{a}$ .......... (2)

(1) + (2) হতে পাই, $\alpha +{\alpha }^2+{\alpha }^3=\frac{c-b}{a}$

বা, $\alpha (1+\alpha +{\alpha }^2)=\frac{c-b}{a}$

বা, ${\alpha }^3{(1+\alpha +{\alpha }^2)}^3=\frac{(c-b{)}^3}{a^3}$ [উভয়পক্ষে ঘন করে]

বা, $\frac{c}{a}{(1-\frac{b}{a})}^3=\frac{(c-b{)}^3}{a^3}$

বা, $\frac{c(a-b{)}^3}{a}=\frac{(c-b{)}^3}{a^3}$

$\therefore c(a-b{)}^3=a(c-b{)}^3$. (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)={\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+c\therefore f\left(\omega \right)=a{\omega }^2+b\omega +c$

এবং $f\left({\omega }^{-1}\right)=a{\omega }^{-2}+b{\omega }^{-1}+c=\frac{a}{{\omega }^2}+\frac{b}{\omega }+c$

$=\frac{a{\omega }^3}{{\omega }^2}+\frac{b{\omega }^3}{\omega }+c[\because {\omega }^3=1]$

$=a\omega +b{\omega }^2+c$

এখন, $\left\{f\right(\omega ){\}}^3+{\left\{f\left(\frac{1}{\omega }\right)\right\}}^3=0$ হলে,

${(a{\omega }^2+b\omega +c)}^3+{(a\omega +b{\omega }^2+c)}^3=0$

বা, ${(a{\omega }^2+b\omega +c)}^3=-{(a\omega +b{\omega }^2+c)}^3$

বা, ${\left(\frac{a{\omega }^2+b\omega +c}{a\omega +b{\omega }^2+c}\right)}^3=-1$

বা, $\frac{a{\omega }^2+b\omega +c}{a\omega +b{\omega }^2+c}=\sqrt[3]{-1}=-1,-\omega ,-{\omega }^2$

অর্থাৎ, $\frac{a{\omega }^2+b\omega +c}{a\omega +b{\omega }^2+c}=-1$

বা, $a{\omega }^2+b\omega +c=-a\omega -b{\omega }^2-c$

বা, $a{\omega }^2+b\omega +c+a\omega +b{\omega }^2+c=0$

বা, $a({\omega }^2+\omega )+b(\omega +{\omega }^2)+2c=0$

বা, $-a-b+2c=0[\because 1+\omega +{\omega }^2=0]$

$\therefore 2c=a+b$. (দেখানো হলো)