সৃজনশীলঃ ‘f(x)=ax2+bx+c.…’ শহীদ সৈয়দ নজরুল ইসলাম কলেজ ২০২৬ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$

এবং $a=27,b=6,c=-p-2$

$\therefore f\left(x\right)=27x^2+6x-p-2$

আবার, $f\left(x\right)=0$
বা, $27x^2+6x-p-2=0$
বা, $27x^2+6x-(p+2)=0$
ধরি, সমীকরণটির মূলগুলো $\alpha$ ও ${\alpha }^2$

$\therefore \alpha +{\alpha }^2=\frac{-6}{27}$

এবং $\alpha \cdot {\alpha }^2=\frac{-(m+2)}{27}$

বা, ${\alpha }^3=\frac{-(m+2)}{27}$............(i)

বা, $\alpha +{\alpha }^2=\frac{-2}{9}$
বা, $9\alpha +9{\alpha }^2=-2$
বা, $9{\alpha }^2+9\alpha +2=0$
বা, $9{\alpha }^2+6\alpha +3\alpha +2=0$

বা, $3\alpha (3\alpha +2)+1(3\alpha +2)=0$

বা, $(3\alpha +2)(3\alpha +1)=0$
হয়, $3\alpha +2=0$
বা, $\alpha =\frac{-2}{3}$

অথবা, $3\alpha +1=0$
বা, $\alpha =\frac{-1}{3}$

(i) নং এ $\alpha$ এর মান বসিয়ে পাই,

হলে$\alpha =\frac{-2}{3}\text{ হলে, }{\left(\frac{-2}{3}\right)}^3=\frac{-(m+2)}{27}$

বা, $\frac{-8}{27}=\frac{-(m+2)}{27}$ বা, $m+2=8$
বা, $m=8-2\therefore m=6$
আবার, $\alpha =\frac{-1}{3}$ হলে, ${\left(\frac{-1}{3}\right)}^3=\frac{-(m+2)}{27}$
বা, $\frac{-1}{27}=\frac{-(m+2)}{27}$ বা, $m+2=1$
বা, $m=1-2\therefore m=-1$
নির্ণেয় মান : $m=-1,6$.

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)={\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+c$ এবং $f\left(x\right)=0$

বা, $a{x}^2+bx+c=0$
$a{x}^2+bx+c=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha ,\beta$ হলে, $\alpha +\beta =-\frac{b}{a}$ এবং $\alpha \beta =\frac{c}{a}$

এখন, $\frac{1}{\alpha -4\beta }+\frac{1}{\beta -4\alpha }=\frac{\beta -4\alpha +\alpha -4\beta }{(\alpha -4\beta )(\beta -4\alpha )}$

$=\frac{(\alpha +\beta )-4(\alpha +\beta )}{\alpha \beta -4{\alpha }^2-4{\beta }^2+16\alpha \beta }=\frac{-3(\alpha +\beta )}{17\alpha \beta -4({\alpha }^2+{\beta }^2)}$

$=\frac{-3(\alpha +\beta )}{17\alpha \beta -4\left\{\right(\alpha +\beta {)}^2-2\alpha \beta \}}$

$=\frac{-3\left(\frac{-b}{a}\right)}{17\times \frac{c}{a}-4\{{\left(\frac{-b}{a}\right)}^2-2\times \frac{c}{a}\}}$ [মান বসিয়ে]

$=\frac{\frac{3b}{a}}{\frac{17c}{a}-4\frac{b^2}{a^2}+\frac{8c}{a}}=\frac{\frac{3b}{a}}{25\frac{c}{a}-4\frac{b^2}{a^2}}=\frac{\frac{3b}{a}}{\frac{25ac-4b^2}{a^2}}=\frac{3ab}{25ac-4b^2}$

আবার, $\frac{1}{\alpha -4\beta }\times \frac{1}{\beta -4\alpha }$

$=\frac{1}{(\alpha -4\beta )(\beta -4\alpha )}$

$=\frac{1}{\frac{25ac-4b^2}{a^2}}\doteq \frac{a^2}{25ac-4b^2}$

সুতরাং, $\frac{1}{\alpha -4\beta }$ ও $\frac{1}{\beta -4\alpha }$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ, $x^2-$ (মূলদ্ধয়ের যোগফল) $x+$ (মূলদ্ধয়ের গুণফল) $=0$
বা, $x^2-(\frac{1}{\alpha -4\beta }+\frac{1}{\beta -4\alpha })x+(\frac{1}{\alpha -4\beta }\times \frac{1}{\beta -4\alpha })=0$
বা, $x^2-\frac{3ab}{25ac-4b^2}x+\frac{a^2}{25ac-4b^2}=0$
$\therefore (25\mathrm{ac}-4b^2)x^2-3\mathrm{abx}+a^2=0$
নির্ণেয় সমীকরণ : $(25ac-4b^2)x^2-3abx+a^2=0$.