সৃজনশীলঃ ‘f(x)=ax2+bx+c…’ সিলেট বোর্ড ২০২১ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=a{x}^2+\mathrm{bx}+c$

$b=c$

এবং $f\left(x\right)=0$

বা, $a{x}^2+bx+c=0$

বা, $a{x}^2+cx+c=0[\because b=c]$

ধরি, সমীকরণটির মূলদ্বয় $\alpha .\beta$

$\therefore \alpha +\beta =\frac{-c}{a}$

এবং $\alpha \beta =\frac{c}{a}$

প্রশ্নমতে, $\alpha :\beta =p:q$

বা, $\frac{\alpha }{\beta }=\frac{p}{q}$

বামপক্ষ $=\sqrt{\frac{p}{q}}+\sqrt{\frac{q}{p}}+\sqrt{\frac{c}{a}}$

$=\sqrt{\frac{\alpha }{\beta }}+\sqrt{\frac{\beta }{\alpha }}+\sqrt{\alpha \beta }$

$=\frac{\alpha +\beta +\alpha \beta }{\sqrt{\alpha \beta }}$

$=\frac{-c}{a}+\frac{c}{a}$

$\sqrt{\alpha \beta }\frac{0}{\sqrt{\alpha \beta }}=0=$ ডানপক্ষ

$\therefore \sqrt{\frac{p}{q}}+\sqrt{\frac{q}{p}}+\sqrt{\frac{c}{a}}=0$ (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)={\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+c$

এবং $f\left(x\right)=0$.

বা, $a{x}^2+bx+c=0$

${\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+c=0$ সমীকরণের মূল দুইটি $\alpha ,\beta$

$\therefore \alpha +\beta =-\frac{b}{a}$ এবং $\alpha \beta =\frac{c}{a}$

এখন, $\alpha +\frac{1}{\beta }$ ও $\beta +\frac{1}{\alpha }$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় করতে হবে।

$\therefore \alpha +\frac{1}{\beta }+\beta +\frac{1}{\alpha }=\alpha +\beta +\frac{\alpha +\beta }{\alpha \beta }$

$=\frac{-b}{a}+\left(\frac{-b}{a}\right)\times \frac{a}{c}=\frac{-b}{a}-\frac{b}{c}=-b\left(\frac{a+c}{ac}\right)$

আবার, $(\alpha +\frac{1}{\beta })(\beta +\frac{1}{\alpha })=\alpha \beta +1+1+\frac{1}{\alpha \beta }$

$=\frac{c}{a}+2+\frac{a}{c}=\frac{c^2+2ac+a^2}{ac}=\frac{(c+a{)}^2}{ac}$

$\alpha +\frac{1}{\beta }$ এবং $\beta +\frac{1}{\alpha }$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ,

$x^2-(\alpha +\frac{1}{\beta }+\beta +\frac{1}{\alpha })x+(\alpha +\frac{1}{\beta })(\beta +\frac{1}{\alpha })=0$

বা, $x^2+\frac{b(a+c)}{ac}x+\frac{(c+a{)}^2}{ac}=0$

$\therefore ac{x}^2+b(a+c)x+(a+c{)}^2=0$

নির্ণেয় সমীকরণ $ac{x}^2+b(a+c)x+(a+c{)}^2=0$.