সৃজনশীলঃ ‘f(x)=ax2+bx+cg(x)=c2x2−(b2−2ac)x+a2…’ বরিশাল বোর্ড ২০২৫ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$
এবং $f\left(x\right)=0$
বা, $a{x}^2+bx+c=0$$..........\left(i\right)$
$\left(1\right)$ নং এর মূলদ্ধয় $m$ ও $n$ হলে,

$m+n=-\frac{b}{a}.$

এবং $mn=\frac{c}{a}$
আবার, $g\left(x\right)=c^2{x}^2-(b^2-2ac)x+a^2$
এবং $g\left(x\right)=0$
বা, $c^2{x}^2-(b^2-2ac)x+a^2=0$
বা, $\frac{c^2{x}^2}{a^2}-(\frac{b^2}{a^2}-\frac{2c}{a})x+1=0[a^2$ দ্বারাভাগ করে $]$
বা, ${\left(\frac{c}{a}\right)}^2{x}^2-\{{(-\frac{b}{a})}^2-2\cdot \frac{c}{a}\}x+1=0$
বা, $(mn{)}^2{x}^2-\left\{\right(m+n{)}^2-2mn\}x+1=0$
বা, $(mn{)}^2{x}^2-(m^2+n^2)x+1=0$
বা, $m^2{n}^2{x}^2-m^{2}x-n^{2}x+1=0$
বা, $m^{2}x(n^{2}x-1)-1(n^{2}x-1)=0$
বা, $(n^{2}x-1)(m^{2}x-1)=0$

হয়, $n^{2}x-1=0$
বা, $n^{2}x=1$ 

$\therefore x=\frac{1}{n^2}$ 

অথবা, $m^{2}x-1=0$
বা, $m^{2}x=1$ 

$\therefore x=\frac{1}{m^2}$ 

$\therefore g\left(x\right)=0$ সমীকরণের মূলঘয় $\frac{1}{m^2}\cdot \frac{1}{n^2}$ 

 দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$
এবং $f\left(x\right)=0$
বা, $a{x}^2+bx+c=0$
$\left(1\right)$ নং এর মূলদ্বয় $m$ ও $n$ হলে, $m+n=-\frac{b}{a}$

এবং $mn=\frac{c}{a}$
আবার, $\left(1\right)$ নং থেকে পাই,

$a{m}^2+bm+c=0$

বা. $a{m}^2+c=-bm$
একইভাবে, ${\mathrm{an}}^2+\mathrm{bn}+c=0$
বা, ${\mathrm{an}}^2+c=-\mathrm{bn}$
বামপক্ষ $={(a{m}^2+c)}^{-2}+{(a{n}^2+c)}^{-2}$

$\begin{array}{cc}& =(-bm{)}^{-2}+(-bn{)}^{-2}\\ & =\frac{1}{b^2{m}^2}+\frac{1}{b^2{n}^2}=\frac{n^2+m^2}{b^2{m}^2{n}^2}\\ & =\frac{(m+n){)}^2-2mn}{b^2(mn{)}^2}=\frac{\frac{b^2}{a^2}-2\frac{c}{a}}{b^2\cdot \frac{c^2}{a^2}}=\frac{\frac{b^2-2ac}{a^2}}{\frac{b^2{c}^2}{a^2}}\end{array}$ 

$=\frac{b^2-2ac}{a^2}\times \frac{a^2}{b^2{c}^2}=\frac{b^2-2ac}{b^2{c}^2}=$ ডানপক্ষ 

$\therefore {(a{m}^2+c)}^{-2}+{(a{n}^2+c)}^{-2}=\frac{b^2-2ac}{b^2{c}^2}$.
(প্রমাণিত)